Вы находитесь на сайте журнала "Вопросы психологии" в девятнадцатилетнем ресурсе (1980-1998 гг.).  Заглавная страница ресурса... 

31

 

ФОРМИРОВАНИЕ ДИАЛОГИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

 

С. Ю. КУРГАНОВ

 

В работах Ж. Пиаже [19] и Л.С. Выготского [9] поставлена проблема связи развития мышления ребенка с дискуссионными формами познания и обучения, а также с содержанием дискуссий. По мнению В.В. Давыдова [12], принципиальным моментом здесь является тип понятийного мышления, который является содержанием дискуссионных форм общения детей и взрослых.

Можно выделить три типа учебных дискуссий, соответствующих присвоению трех форм понятийного мышления: дискуссии, связанные с усвоением эмпирических обобщений, дискуссии, связанные с усвоением «теоретических понятий», и учебные диалоги, т. е. дискуссии, направленные на освоение диалогического мышления, диалогических понятий XX в.

 

32

 

Формирование эмпирического мышления у младших школьников критически проанализировано В.В. Давыдовым [12]. Эмпирические понятия вырабатываются у учащихся в процессе сравнения предметов, что позволяет выделить в них общие свойства. Формально-общее свойство, обозначенное словом-термином, — это и есть эмпирическое понятие. Как показывает педагогическая практика, формирование эмпирического обобщения происходит, как правило, на уроках авторитарного типа, но может проходить и в ходе активных дискуссий между учениками и учителем. В этих дискуссиях учитель в игровой форме может запутывать учащихся, выдавая несущественные признаки понятия за существенные, и наоборот, и тем самым помогая более четко определить содержание и объем усваиваемого понятия.

Формирование теоретического мышления у школьников организуется в ходе учебной деятельности. На каждом этапе ее развертывания возникает учебная дискуссия особого характера. Наиболее рефлексивными этапами учебной деятельности являются этапы контроля, прогностической оценки, постановки новой учебной задачи [20].

Доказано, что эти рефлексивные этапы учебной деятельности вообще не могут быть содержательно «присвоены» младшими школьниками без специально организованных дискуссий [22]. Важнейшей новой чертой таких дискуссий по сравнению с дискуссиями эмпирического типа являются вычленение противоречия, конституирующего содержание дискуссии, и персонификация этого противоречия в позициях детей и учителя. Большинство учебных дискуссий, описанных Г.А. Цукерман, проходит следующим образом: перед учителем — эталонная схема протекания учебной дискуссии, как бы запись пути, который должна пройти мысль учащегося, чтобы прийти к данному теоретическому понятию. Так поставлена учебная задача. Вот два возможных, лежащих на поверхности способа ее решения. Оба они опираются на старые знания учащихся и не могут быть основой решения новой учебной задачи. Эти способы действия учащихся объективно противоречат друг другу. Дискуссия обнаруживает односторонность, частичность каждой позиции, необходимость диалектического скачка, синтеза, снятия данного противоречия. Учитель (реже — один из учеников) предлагает новый, более развитый, более конкретный способ действия, снимающий в себе односторонние позиции. Учебная задача решена, противоречие снято.

Фактически учитель всю учебную дискуссию имеет еще до того, как она реально разыгралась в классе. Дело психолога и педагога — инструментовать логический каркас теми или иными педагогическими средствами, которые подчас оказываются весьма изящными [22].

Объективный монологизм, т.е. радикальное отсутствие самостоятельных, независимых Собеседников, способных неожиданно для учителя изменить смысл и содержание всей дискуссии, коренится в логических особенностях теории учебной деятельности. Логика «восхождения от абстрактного к конкретному» [12] —это логика разрешения, снятия противоречий заранее известным способом. То, что в начале спора выглядело как жизненно важное, личностно значимое, после спора, после усвоения теоретического понятия представляется как снятое, разрешенное, умершее в высшем синтезе. Каждое из высказываний детей не было объективно самостоятельным — оно было лишь стороной общего противоречия. Как только в ходе рефлексивных учебных действий обнаруживается выход из противоречия, спор обессмысливается: все приходят к одному и тому же результату.

Другие учебные действия (например, моделирование) в принципе могут быть освоены и вне дискуссионных форм. Однако и здесь учебные дискуссии, в которых дети предлагают разные виды моделей, удерживающие найденный общий способ выхода из противоречия и позволяющий изучить его в чистом виде, а затем, с помощью учителя, приходят к общепринятым формам моделирования, оказываются полезными [1]. Логически такие дискуссии тождественны

 

33

 

урокам, описанным Г.А. Цукерман.

Как показано в работах В.С. Библера [5], современные научные понятия являются понятиями-проблемами. Понятия XX в. (число, точка, атом, историческое событие, слово, текст и пр.) не столько решают те или иные задачи  практической  деятельности, сколько, напротив, ставят эту деятельность под вопрос, выводят ее к вечным, принципиально неразрешимым вопросам бытия человечества [3]. Эти понятия выступают как «точки философского удивления» [6]: «Что такое число?», «Как возможна жизнь?» — и поэтому усвоение таких понятий обязательно требует индивидуального творчества, а не просто воспроизведения, повторения скрытых в понятиях общих способов действия. Данные понятия включают в себя историю своего формирования, выступая как нескончаемый диалог античного, средневекового, нововременного и современного типов видения мира, диалог различных логик.

Кажется очевидным, что для усвоения таких понятий в школе требуется разработать совсем иной тип учебной дискуссии. Этот тип дискуссии мы назвали учебным диалогом [15], [16], понимая под диалогом не любой спор, а спор, выводящий на вечные проблемы бытия, являющийся столкновением различных логик. Нами подробно описаны учебные диалоги, направленные на формирование диалогических понятий в различных предметных областях (математика, история, природоведение, поэтика). Эти исследования проводились в III—VII классах факультативно по отношению к основному обучению, которое осуществлялось в I—III классах по программе В.В. Давыдова [12], а в более старших классах — по обычной программе. Важным обстоятельством являлось то, что основные учебные навыки (счет, письмо, чтение, измерение и некоторые другие) формировались у наших учеников монологически и затем как бы втягивались в учебные диалоги и проблематизировались ими (диалогизм появлялся на завершающих этапах обучения). Вместе с тем известно, что именно начальный этап (I—III классы) оказывается наиболее существенным для формирования коренных особенностей мышления школьников.

Мы предположили, что диалог логик и культур понимания может лежать в основе самых элементарных учебных действий младшего школьника в том случае, если усвоение этих учебных действий будет опираться не на эмпирические и не на теоретические (В.В. Давыдов), а на диалогические понятия числа, точки, фигуры, слова, текста, предмета, природы и др. На основе этого предположения было построено начальное обучение (I—II классы) диалогическим понятиям, включающее следующие учебные предметы: письменная речь, точки удивления в математике, загадки природы и истории, выразительное чтение и др1.

Учебное действие письма формировалось в столкновении следующих противоречащих друг Другу и вместе с тем дополнительных фокусов: а) письмо как эпистолярный жанр, как произведение, обращенное к более или менее четко представляемому Собеседнику (соседу по парте, далекому школьнику из другого города, Деду Морозу, дедушке); б) письмо как письмо самому себе, как дневник, фиксирующий мои самые сокровенные мысли, письмо как «внутренняя речь открытым текстом»; в) письмо как воспроизведение моей рукой, моей мыслью, моим ритмом различных литературных жанров: лирической миниатюры, эпиграммы, рассказа, новеллы и пр.; г) письмо как объект фонематического анализа, как воспроизведение своей рукой общих закономерностей орфографии; д) письмо как каллиграфическое умение, не отделимое от моих рук и вместе с тем воспроизводящее высокие образцы и нормы.

Эти фокусы письменной речи отчасти воспроизводят диалогическое понятие «речевого события», выделенное Р. Якобсоном в качестве центрального

 

34

 

для языкознания XX в. [24]. Здесь существенно именно столкновение различных образов письма, например письмо по орфографическому принципу и свободное, «хлебниковское» письмо. Это столкновение, явное для младшего школьника, и образует то психологическое пространство речевого события (как трудности, как парадокса, как события разных образов речи) [24].

Учебное действие счета также формируется как столкновение взаимодополнительных образов числа, каждый раз образующее математическое событие, ставящее ребенка в ситуацию «промежутка»: ни к какому единственно возможному образу числа нельзя «прислониться», как к спасительной стене, ибо понятие числа — это диалог: а) числа как способа воспроизведения величин (число, по В.В. Давыдову); б) числа как гармоничной формы, как образа - эйдоса (пифагорейское понимание); в) числа как объекта формальных математических операций. Эти разные понимания числа одновременно образуют — в своем со-бытии — современное научное понятие числа [14] и пронизывают самые элементарные счетные умения первоклассника. При этом, конечно, элементарное счетное действие перестает восприниматься ребенком как элементарное, самоочевидное, а становится удивительным, парадоксальным, спорным, т. е. предметом удивления и диалогического понимания.

Учебное действие чтения выступает и как техническое умение (нормы, приемы, техника чтения, слоговое чтение, орфоэпия), и как прорыв к звуковой стихии авторской речи. Чтение выступает как воспроизведение своим горлом того, как «сделано» произведение. Чтение в нашем обучении формировалось как действие, опирающееся на литературоведение (в смысле В. Шкловского [23]). Учебные диалоги, обсуждая форму и особенности жанра сказки, романа («Три Толстяка» Ю. Олеши), заумной лирической миниатюры (В. Хлебников), басни, как бы тормозили и отстраняли выразительное чтение, тем самым включая то или иное прочтение сказки или фрагмента романа в контекст современных проблем и понятий литературоведения. Тот или иной вариант художественного чтения — это  индивидуально-неповторимый ответ ребенка в споре, в котором «участвуют» Пропп (сказка), Хлебников (лирика), Шкловский (роман), Выготский (басня). Это позволило уже во II классе перейти к выразительному чтению больших фрагментов произведений А.С. Пушкина, Н.А. Некрасова, В.В. Маяковского, Б.Л. Пастернака, А.П. Платонова с «выходами» на вопросы и проблемы современного литературоведения (например, значение и особенности чтения пропусков у А.С. Пушкина).

Учебное действие измерения в природоведении одновременно формируется как абстрактное снятие показаний приборов, и как попадание наблюдателя в сложное поле взаимодействия с природными объектами, и как общение с природой, а измерительный прибор — как посредник этого общения и в этом смысле всегда в какой-то мере живой. Чисто естественно-научное понимание измерительного действия в нашем обучении оспаривается анимистическими, артифициалистическими и реалистическими гипотезами младших школьников. С этой точки зрения нам представляется, что дошкольное понимание природы, связанное с феноменами Пиаже, должно быть не снято формированием действия измерения, как это предполагали П.Я. Гальперин и Д.Б. Эльконин [10], а этим действием проблематизировано и усилено в качестве неустранимого «голоса» в понимании того, что есть измерение в физике и биологии XX в. В психологическом плане это проявляется в том, что на каждом уроке-диалоге детям, по преимуществу отстаивающим нововременное представление о природных объектах, числе, слове, тексте, историческом событии, активно возражают младшие школьники, мыслящие «по Пиаже», выдвигающие в учебных дискуссиях аргументы, аналогичные античным, средневековым и близкие к аргументам науки XX в. Эти аргументы не умирают в высшем синтезе, в итоге урока, а, напротив, углубляются диалогом, обрамляются иными, естественнонаучными представлениями. Сами же естественно-научные

 

35

 

гипотезы, например молекулярная, выступают в нашем обучении как одна из возможных парадигм.

Рассмотрим более подробно особенности формирования диалогических понятий у младших школьников на примере курса математики.

1. Понятие как парадокс. Начнем с примера. Первый урок математики в I классе проходил так. Ребята разделились на три группы, которые учитель развел в разные места школьного двора так, чтобы дети одной группы не видели детей из остальных групп. А теперь задание: как можно быстрее собраться вместе. Задание выполнялось очень долго (35 мин). За этим следует такой диалог.

 

Учитель: Почему мы так долго искали друг друга?

Дети: Надо всегда о правилах договариваться. Надо всем вместе бежать в одно место. Тогда в этом месте мы будем опять вместе. А это место надо как-то пометить.

Учитель: Как?

Дети: Надо яму в этом месте выкопать. Надо краской это место пометить. Надо кирпич поставить в это место. Или палку. А можно встретиться возле уже поставленной палки. Вот у нас во дворе есть такая заметная мачта.

Дети выбирают ориентир (мачту) и моделируют движение к нему в виде схемы. Теперь по этому рисунку-модели любой ученик класса поймет, где надо встретиться.

 

Исходная учебная задача решена. Способ ее решения, опирающийся на теоретическое понятие точки-ориентира, найден и изображен на модели. Если дальнейшее обучение разворачивать в логике В. В. Давыдова, необходимо исследовать эту модель в чистом виде, поставить более конкретную учебную задачу, для решения которой одной точки было бы мало, и т. д. Но дети (вместе с учителем) предложили иной путь. Дети предлагают изобразить на схеме не только мачту, но еще и точку М — место встречи.

Дети: Ветер может мачту сломать. Нам не мачта нужна, а место встречи. Надо это место нарисовать. А мачта — это метка, мы ею пометили. А надо само место как-то пометить, нарисовать. Иначе подумают, что нам сама мачта нужна. Если бы не было мачты, мы ямку бы выкопали или краской покрасили это место. Не в мачте дело.

Учитель: А если бы мачты не было, краски не было, никаких вещей, предметов, меток не было, было бы наше место?

Дети: Конечно, было бы! Место всегда есть. А всякими вещами мы только помечаем это место.

Учитель: Вот гора (рисует). А вот ее вершина. Эта вершина «помечает», как вы говорите, точку А. Если срыть гору, точка А (место) будет или нет?!

 

Дети колеблются. Одни твердо уверены, что даже с исчезновением всех предметов места все же останутся. Другие так не считают. Спор продолжается.

В первом рисунке (мачта) ребенок изображает наличную игровую ситуацию, противоречие игры и способ выхода из него. Он рисует то, что было в его игровом действии. Изображение мачты — символ. За этим символом стоит способ действия, открытый детьми. Точка-ориентир выступает как средство решения задачи, как «обслуга» практического действия.

Уже в этимологической игре, воспроизводящей на новом уровне словесные игры «от двух до пяти» (такое воспроизведение — необходимая черта понятийного мышления XX в. В. Хлебников [21]) —«место—вместе—пометить—предмет...» присутствует мыслительная проблема. Ребенок десимволизирует рисунок, начинает рассматривать модель не как символ, не как средство, а как цель. Ребенку становится интересен сам рисунок, само изображение прошедшей игры. Что-то в этом рисунке не так! Услышанная, ставшая словом внутреннеречевая игра, сблизившая и отдалившая слова «место» и «пометить», как-то «не пошла в рисунок», осталась вне изображения.

Но ребенок отнюдь не хочет оставаться в позиции несчастного ходока, у которого «мысль не пошла в слова» [9; 354]. То, что ясно произнесено и изображено словом, не желает сдаваться и вытесняться моделью, символом.

Появляется второй рисунок (мачта и точка М). Это не изображение способа

 

36

 

решения задачи, не модель. Это образ проблемы, образ парадокса. Это первый шаг формирования диалогического понятия XX в. Это понятие не решает данную задачу, а, напротив, обнаруживает в уже решенной задаче неустранимую трудность, логический парадокс.

Сознавательная доминанта, доминанта построения образа самого себя и собственного действия, характерная для дошкольника [4], сменяется мыслительной, понятийной доминантой. Детям уже мало просто изобразить ситуацию в речи или в рисунке. Дети задаются вопросом-парадоксом: а как возможно то, что изображено?

И это именно парадокс, а не противоречие (по В. В. Давыдову), которое может быть снято, устранено, окончательно разрешено. Ведь здесь дети выходят на одну из вечных проблем: проблему абсолютного пространства. Понятие точки сразу выступает как арена столкновения разных, дополнительных друг другу концепций пространства: нововременной (места первичны, тела заполняют пространство) и эйнштейновской (предметы, массы образуют места, формируют пространство).

2. Понятие как образ. Формирование эмпирического мышления существенно опирается на наглядные образы. Например, в арифметике широко используются числовые фигуры, в ботанике — рисунки, классификационные таблицы и пр. Как показал В.В. Давыдов [12J, эти образы удерживают непосредственно-эмпирическое в предмете, не открывают детям сущности вещей. Формирование теоретического мышления обходится без таких образов. Взамен их используются модели, которые символизируют те существенные отношения «клеточки», которые открывают дети совместно с учителем в ходе разрешения противоречий, лежащих в основе учебных задач. При этом оказывается, что понятия, модели важны не сами по себе, они лишь символизируют особенности родовой предметной деятельности. Так, понятие числа — это символ, смысл которого раскрывается лишь в контексте совместной предметной деятельности измерения — отмеривания величин. Концепция В.В. Давыдова стоит, как нам представляется, на позициях познавательного символизма. Характерная особенность любого символизма в том, что он никогда не ухватывает целостность вещи самой по себе, каждая вещь как бы кивает на другую вещь, является знаком-заместителем чего-то другого, более важного [17].

Диалогическое понятие является понятием-образом. Но совсем не в смысле удержания наглядно-эмпирических качеств предмета. Понятие здесь является образом трудности, образом парадокса. Размышляя над бесконечностью числового луча, первоклассники предложили несколько различных образов, высвечивающих разные грани и возможности продолжения числового луча в бесконечность (рис. 1). Любопытно, что большинство учащихся видят множество чисел замкнутым. Интересно, что предложенные образы числового множества дети использовали для «календаризации» собственных дневников. В первые дни после этого можно было услышать в классе, что у нас одновременно 2 ноября по календарю Оксаны, 33 октября по календарю Паши, 29 октября по календарю Юли. В промежутке различных образов, созданных детьми, и существует понятие бесконечности числового ряда, к которому подходят здесь дети.

Не менее существенным было использование в нашем обучении пифагорейского понимания натурального числа как фигуры, образа - эйдоса. Вначале дети изображали одно и то же число (например, 2) в виде различных числовых фигур (отрезка, спирали с выделенными концами и др.). Идея фигурного числа помогла первоклассникам быстро освоить сложение и вычитание натуральных чисел. Каждое число от 1 до 10 имело свою особую форму (как в домино). Тогда сложение и вычитание становилось не простым перемещением по числовой оси, а каждый раз переструктурированием видения, созданием нового образа.

В работах В.В. Давыдова рассмотрен предметный смысл умножения [11]. Однако за пределами рассмотрения остался подсчет произведения.

 

37

 

 

Рис. 1. Образы бесконечного множества чисел, как его видят первоклассники.

 

С точки зрения В.В. Давыдова, это неважно: главное, чтобы ребенок понимал символический смысл умножения, связанный с переходом к воспроизведению величины с помощью промежуточной меры. Такое сведение арифметики к алгебре, идеи действий с числами к идее формулы нам кажется односторонним. Не случайно автоматизированное, не останавливающее свое внимание на промежуточных шагах действие В. Шкловский сравнивал с алгебраической операцией: «Становясь привычными, действия делаются автоматическими. Так уходят, например, в среду бессознательно-автоматического все наши навыки... Это процесс, идеальным выражением которого является алгебра, где вещи заменены символами. При таком алгебраическом подходе мышления вещи берутся счетом и пространством, они не видятся вами, а узнаются по первым чертам» [23; 13—14].

Античный фокус нашего обучения числу отстраняет алгебраическое, символическое узнавание числа, заставляет каждое число рассматривать, созерцать как неповторимую индивидуальность, как проблему. Мы считаем, что, например, действие умножения выстроено полностью как учебное, когда ребенок научался получать результат произведения, видеть его как индивидуальное, арифметическое, конкретное число, что не менее важно, чем понимание общего смысла умножения. Возведение чисел в квадрат поэтому понималось первоклассниками и как обычное сложение одинаковых слагаемых, и — как построение квадратного числа по Пифагору — как образ возведения в квадрат, возвращения числа к самому себе (рис. 2).

 

Рис. 2. Возведение в квадрат (I класс). Античный и нововременной образы математического действия.

 

Дети выполняют упражнения по свертыванию бесконечной прямой линии (образа числа как средства измерения величин, абстрактной точки-метки) в пифагорейский квадрат (образ числа как неповторимой формы, фигуры). Подсчитывая произведение, выполняя, казалось бы, элементарное математическое действие, дети оказываются в ситуации промежутка двух понимании числа: нововременного и античного. В связи с этой игрой мышления и сознания [4] при усвоении фигурных чисел в I классе возникают интересные наблюдения ребят. Например, они замечают, что каждое квадратное число есть сумма нечетных чисел. Как показывают исследования [18], эти наблюдения

 

38

 

могут вывести на серьезную математическую проблематику. Кроме того, они подготавливают младших школьников к изучению античной культуры как целостного учебного предмета в III—IV классах [6].

3. Проблема развивающегося понятия. Эмпирические понятия формируются как рядоположенные. Например, каждый отдельный вид чисел появляется в обучении как бы независимо от других, имеет особый источник происхождения: натуральные числа — счет, дроби — деление вещей, отрицательные числа — обозначение направлений на прямой, иррациональные числа — решение квадратных уравнений и т. д. Это обстоятельство вызывает огромные трудности усвоения эмпирических понятий. Наши диагностические исследования, проведенные в 1979—1983 гг., показали, что у учащихся III—VII классов массовой школы не формируется единого понимания числа: многие учащиеся не могут объяснить, почему отрицательные и натуральные числа называются числами, что в них общего; большое число учащихся V—VII классов вообще не считают числами отрицательные числа, так как с их помощью ничего нельзя сосчитать; с трудом выполняют задания по переходу от одних видов чисел к другим. Так, большинство третьеклассников не справилось с заданием  построить отрезок длиной  дм, так как испытывали затруднение в делении отрезка на 33 равные доли.

Теоретические понятия формируются в ходе восхождения от абстрактного к конкретному [12]. Это значит, что, по сути дела, у ребенка формируется единое понятие числа, развивающееся от простейших форм (натуральное число) к формам развитым и конкретным (комплексное число). Овладевая в I классе исходной абстракцией, понятием числа как отношением величин, дети тем самым познают исходную клеточку понятия, его сущность. Все дальнейшее обучение есть манифестация, раскрытие, конкретизация этой сущности2.

К 1983 г. был построен систематический курс математики для начальных классов [7], в основе которого лежало единое развивающееся понятие числа. Как показали диагностические испытания [12], большинство учащихся экспериментальных классов владеют обобщенным пониманием числа, легко переходят от одного вида чисел к другому. Мы обнаружили, что дети как бы орудуют одним понятием, развивая его и конкретизируя в нужном направлении. Дети же обычных классов вынуждены оперировать сразу несколькими плохо связанными между собой эмпирическими обобщениями, что резко затрудняет решение задач.

Вместе с тем уже в рамках школы В. В. Давыдова обнаружились трудности и парадоксы построения систематического курса математики. Так, парадокс усвоения понятия натурального числа состоял в том, что дети экспериментальных классов в ходе контрольных тестовых испытаний, в которых специально сталкивались эмпирическое и теоретическое понимание числа, нередко отходили от понимания числа как отношения величин и скатывались в эмпиризм, опираясь на наглядный образ числа как множества отдельностей. Парадокс усвоения понятия иррационального числа состоял в том, что это понятие в принципе не может быть сформировано на основе концепции В. В. Давыдова, ибо введением дробей проблема измерения величин разрешается полностью. Иррациональные числа поэтому не являются конкретизацией понятия числа как отношения величин. Введение их как теоретического понятия требует радикального изменения логики обучения.

Парадокс усвоения понятия отрицательного числа был обнаружен Ю. П. Бархаевым и А. М. Захаровой [2] и состоял в следующем. Для формирования понятия отрицательного

 

39

 

числа потребовалось создать особый дочисловой период, в ходе которого учащиеся воспроизводили направление величины [8]. Полученные на основе этого действия целые положительные числа с психологической точки зрения отличались от натуральных, полученных в ходе измерения скаляров. Отождествление числа +1 и числа 1 превратилось в сложную и до сих пор не решенную психолого-педагогическую проблему. Более того, выяснилось, что задача воспроизведения векторов на линии никак не выводится из задачи измерения расстояний. Следовательно, понятие скалярной величины и понятие направленной величины, необходимые для содержательного введения натуральных и отрицательных чисел, формируются как рядоположенные, вне логики восхождения.

Парадокс усвоения геометрических понятий выявил, что каждая новая конкретизация исходной идеи числа требовала более глубокого формирования геометрических представлений учащихся. Например, для того чтобы содержательно ввести действие измерения, порождающее дробь, необходимо, как выяснилось, владение теоремой Фалеса и понятием параллельности, иначе деление отрезка на любые равные доли оказывалось формальным. Понятие комплексного числа для своего усвоения требовало знания векторов на плоскости, углов, тригонометрии, подобия. Все более очевидным становилось, что арифметика и геометрия входят в понятие числа как два независимых фокуса, а не находятся в отношении абстрактное — конкретное.

Наконец, вскрытый В.В. Давыдовым и В.П. Андроновым парадокс счета как идеального действия [13] выявил различие логики материальных действий (измерения, пересчитывания и пр.) и логики идеальных действий с числами. Это исследование впрямую поставило вопрос о диалоге логик в одном аспекте умственной деятельности ребенка.

Хотя диалогизм современных научных понятий может быть обнаружен, как показывают хотя бы исследования самого В.В. Давыдова [7] в «пробирочных» экспериментах, связанных с одним понятием, неспособность логики восхождения от абстрактного к конкретному обосновать современное обучение понятиям в школе особенно явно проявляется в рамках курса математики в целом. Все математические понятия, хотя и могут быть выстроены в иерархический ряд восхождения или формальной дедукции, в своих основных функциях все же являются конкретными и самодостаточными. Каждое из этих понятий представляет особое понятие-проблему, особую «точку удивления». За каждым из математических понятий стоит свой историко-культурный парадокс, своя история возникновения, постоянно воспроизводимая и углубляемая при каждом пользовании понятием. Ни одно глубокое, фундаментальное понятие не выводимо из других, а требует для работы с ним каждый раз нового продумывания, нового мучения мысли.

Как нам кажется, понятие дроби возникает у учащихся как раз на стыке необходимости свести дробное число к целому и невозможности, парадоксальности такого сведения. Для того чтобы этот парадокс стал явным для учащихся, мы, вводя понятие дроби во II классе, формировали его как понятие-образ. За каждым дробным числом, например 2/3 или 1/8 стояла не только измерительная операция, связанная с дроблением меры, но и сам образ деления, фигурная дробь «эйдос», вполне конкретный и связанный с тем, на сколько равных долей делится целое. Любопытно, что дети пытаются десимволизировать и дробную черту.

 

Света Д.: Когда мы видим 3/8, то это значит, что мы сначала делим на 8 частей, а потом берем три части.

Лена Б.: Понятно, что означает 3 и что означает 8. Но что означает палочка? Я думаю, это та палочка, которая делит круг на 8 частей, а потом приходит в дробь.

Юля В.: Точно, эта палка делит круг и в конце встает обратно на свое место.

Света Д.: Получается, что палка оставляет свой след в записи дроби!

Данила П.: Палка не исчезает, не умирает, кончая работу в круге.

 

40

 

 

Мы предложили нашим второклассникам ту же задачу, которую решали в констатирующих опытах учащиеся массовой школы и экспериментальной школы В. В. Давыдова: построить величину по числу  (90 % учащихся поняли задание, приняли его, 80 % выполнили его безошибочно, что примерно соответствует данным о третьеклассниках экспериментальной школы).

Обратим внимание на то, как работают Лена Б. и Аня М. (разрешалось решать задание в малых группах). Девочки разделились. Аня рисует одинаковые кружочки в «домике целых чисел», всего 8 штук. Одновременно Лена рисует в «домике деления» еще один такой же кружок. Затем она делит кружок на 8 равных частей и тут же закрашивает его целиком, но точно такой же штриховкой, как у Ани. Следы деления скрадываются, они существовали бы виртуально, в событии понятия дроби. В конечном ответе их нет. Ответ — девять целых.

Сразу же завязывается дискуссия, ибо понятие-образ, на которое опирались девочки, решая задание, спровоцировало конфликт двух способов работы: делить кружок на восемь частей и брать восемь частей и сразу видеть целую единицу. Понятие опять выступило за образ противоречия, становящегося — в дальнейшем диалоге — парадоксом дробного числа.

Несколько детей и учитель полагают, что девять не получилось, так как Лена делила целое на кусочки, а потом собирала восемь восьмых, а Аня просто рисовала и закрашивала целые кружочки. Поэтому кружок «единица» и кружок «восемь восьмых» разные.

 

Света Д.: Нет, одинаковые. Вот возьмем Анину единичку и точно такую же Ленину единичку. И ту и другую единичку давайте разделим на восемь равных частей. А потом зарисуем полностью. Видите, это совершенно одинаковые единички.

Коля К.: А мне кажется, что ответ 11, здесь одна большая и одна маленькая единица.

 

Очень существенно, что дети и учитель не останавливаются на успешном разрешении противоречия, а идут дальше — от теоретического понятия к диалогическому. В самом деле, возникает математическая трудность, проблема: если целое разделить на части, где гарантия, что сумма этих частей снова станет целым, что операция разделения обратима? Интересно, что это одновременно и философская проблема (см.: Платон), и один из вариантов формулировки феноменов Пиаже. Дошкольный опыт несохранения, не снятый измерением [10], позволяет проблематизировать саму идею сохранения, вывести урок на глубинные проблемы современной математики. Это еще одно доказательство нашей гипотезы о том, что особенности мышления дошкольников, связанные с феноменом Пиаже, должны быть не сняты обучением, а превращены в целостный образ видения мира, в один из голосов, участвующих в обсуждении каждого конкретного понятия в математике, природоведении, лингвистике, поэтике.

Аналогично формируется во II классе парадоксально-диалогическое понятие отрицательного числа. Перед учащимися ставится задача: решить уравнение (рис. 3). Ребята разбиваются на малые группы. В результате бурных обсуждений предлагаются такие решения.

 

Валера М.: х=0, потому что кружочек маленький. Когда мы таким огромным треугольником накроем такой маленький кружочек, то от него ничего не останется: углов не будет видно. Треугольник съест кружочек, х=0.

Надя Б., Марина К.: Икс равен кружочек минус треугольник. Это и есть икс. И дальше ничего не нужно считать или рисовать.

Юля В.: Но вы же просто ничего не сделали... Это не решение.

Лена Б. и Аня М. предлагают несколько «монстров», образующих, по их мнению, ответ. Один из них приведен на рис. 3.

 

 

Рис. 3. Введение понятия отрицательного числа (II класс).

 

41

 

 

Дети критикуют решение девочек, они понимают, что х — это не кусочек площади, ибо тогда мы могли бы этот кусочек приклеить к треугольнику и получить кружочек. Но это и невозможно, так как кружочек меньше. Неужели всякие поиски икса в виде конкретного образа бессмысленны и правы те, кто ищут икс только в виде формулы?

Ребята остро чувствуют, что у них нет устраивающего всех решения задачи. На уроке воспроизведена существовавшая в истории математики парадоксальность, невозможность и вместе с тем насущность понятия отрицательного числа.

 

Данила П.: Можно нарисовать вместо минуса треугольник, треугольник черный, замалеванный и перевернутый. Это совсем другое, чем белые фигурки (см. рис. 3). Ну а теперь надо совместить черный треугольник с белым кружочком, как делали девочки. Но они склеивали белое и белое, это неправильно. Икс — это обязательно черная и перевернутая фигурка, она такая же, как и черный треугольник, смотрит вниз и сама черная. Икс — это кусочек черного перевернутого треугольника.

 

Ребенок изобретает принцип отрицательности. Теперь все готово для диалога формально-алгебраического, геометрического (в смысле Данилы) и прагматического (число — способ ориентирования) образов отрицательного числа, для формирования его как диалогического понятия.

В заключение отметим, что диалогические, теоретические и эмпирические понятия не отгорожены друг от друга непроницаемой стеной. На наш взгляд, даже эмпирическая классификация фигур может быть проблематизирована и доведена до диалога логик, как это было на нашем уроке-диалоге, посвященном обсуждению определения треугольника [15]. Тем не менее эмпирический рассудок и теоретический разум не снимаются в диалогическом понятии, а выступают в качестве незаместимых «голосов», подобно авторитарно-эмпирическому голосу Симпличио, теоретическому голосу Сагредо и интуитивно-диалогическому голосу Сальвиати в «Диалогах» Галилея [5]. Другое дело, что мышление в диалогических понятиях требует от учеников и от учителя совсем других форм рефлексии, совсем других психологических качеств и способностей, не сводимых ни к рефлексивному контролю (по В.В. Репкину), ни к прогностической оценке, т. е. ни к одному из учебных действий, рассматриваемых в теории учебной деятельности [20]. В данной статье мы наметили необходимые «точки роста» теории учебной деятельности, диктуемые особенностями современного понятийного мышления. Их проработка на уровне психолого-педагогической и методической технологии — задача ближайшего будущего.

 

1. Айдарова Л. И. Маленькие школьники и родной язык. М., 1983.

2. Бархаев Ю. П., Захарова А. М. Выделение предметной области теории как предпосылка содержательного обобщения (на материале числовых систем) // Вестн. Харьк. ун-та. 200. 1980.

3. Бахтин М. М. Эстетика словесного творчества. М., 1979.

4. Берлянд И. Е. Развитие самосознания и теории игры// Философия и социология науки и техники: Ежегодник. М., 1987.

5. Библер В. С. Мышление как творчество. М., 1975.

6. Библер В. С. Школа диалога культур // Сов. педаг. 1988. № 11.

7. Боданский Ф. Г. Психологические проблемы построения систематического курса математики в начальных классах // Исследования интеллектуальных возможностей и учебной деятельности младшего школьника. Ереван, 1975.

8. Боданский Ф. Г., Курганов С. Ю., Фещенко Т. И. Формирование всеобщего способа действия как психологическая предпосылка организации учебной деятельности при расширении изучаемой числовой области // Вестн. Харьк. ун-та. 1977. № 155.

9. Выготский Л. С. Собр. соч.: В 6 т. Т. 2. М., 1982.

10. Гальперин П. Я., Эльконин Д. Б. К анализу теории Ж. Пиаже о развитии детского мышления // Генетическая психология Жана Пиаже. М., 1967.

11. Давыдов В. В. Психологический анализ действия умножения // Психологические возможности младших школьников в усвоении математики / Под ред. В.В. Давыдова. М., 1969.

12. Давыдов В. В. Проблемы развивающего обучения. М., 1986.

13. Давыдов В. В., Андронов В. П. Психологические условия происхождения идеальных действий // Вопр. психол. 1979. № 5. С. 40 – 54.

14. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984.

15. Курганов С. Ю. Психологические проблемы учебного диалога // Вопр. психол. 1988. № 2. С. 87 – 95.

16. Курганов С. Ю. Ребенок и взрослый в учебном диалоге // Народное образование. 1989. № 2, 4, 5.

 

42

 

17. Мандельштам О. Э. Слово и культура. М., 1987.

18. Матвиевская Г. П. Заметки о многоугольных числах в записных книжках Эйлера // Историко-математическое исслед. Вып. 27. М., 1983.

19. Пиаже Ж. Речь и мышление ребенка. М.: Л., 1932.

20. Репкин В. В. Строение учебной деятельности // Вестн. Харьк. ун-та. 1976. № 132.

21. Хлебников В. Творения. М., 1986.

22. Цукерман Г. А. Зачем детям учиться вместе? М., 1985.

23. Шкловский В. О теории прозы. М., 1983.

24. Якобсон Р. Лингвистика и поэтика // Структурализм: «за» и «против». М., 1975.

 

Поступила в редакцию 20.IX 1989 г.



1 Экспериментальное обучение младших школьников [6] проводилось нами под руководством В.С. Библера в школе № 106 при Красноярском университете (директор школы И.Д. Фрумин). В работе участвовали учителя школы: А.М. Буровский, А.Н. Горбань, Е.В. Иванова, О.В. Соколова, Т.В. Скоромкина и другие.

2 В 1972—1983 гг., работая под руководством Ф.Г. Боданского и в сотрудничестве с В.В. Давыдовым, мы (совместно с Ю.П. Бархаевым и Т.И. Фещенко) предложили ряд психологических и дидактических средств, позволяющих конкретизировать исходное понятие числа (по В.В. Давыдову) на случай отрицательных и комплексных чисел [8].