130

 

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТРУКТУРЫ ЗНАНИЯ

 

Е. Н. СОКОЛОВ, А. Ю. ТЕРЕХИНА, С. Б. РЕБРИК

 

1. ВВЕДЕНИЕ

 

Знание — множество понятий, организованных в систему. Для человека, хорошо усвоившего материал, эта система понятий имеет четкую структуру. Другими словами, система понятий может быть представлена структурой, опирающейся на четкие факторы. У разных людей структуры знаний могут различаться, но в основном они должны быть схожи, поскольку субъективный мир есть отражение объективной реальности. Знаниями легко воспользоваться, только если они хранятся в памяти в виде системы. Тогда их легко извлекать и удобно пополнять уже сложившуюся систему. Бессистемными

 

131

 

знаниями пользоваться трудно, многие люди страдают от такой бессистемности.

Процесс аккумуляции знаний сложен, его трудно разложить на составные части. Основой аккумуляции знаний является организация понятий. От того, что и в каком виде хранится в памяти, зависит эффективность знаний. Можно попытаться распознать эту картину организации знаний и построить ее адекватную модель. Поскольку наше основное предположение состоит в том, что знания хранятся в памяти в виде системы, следует пытаться представить модель этой системы. Структуру системы нельзя построить, тестируя знания о каждом ее элементе в отдельности. В этом случае трудно сложить отдельные фрагменты знаний в систему. Общая структура системы знаний определяется отношениями между элементами по различию или сходству. Возможность анализа информации о сходствах и различиях понятий для распознавания самой структуры знаний формальным путем предоставляют методы многомерного шкалирования [3], [4], [6], [8]. От испытуемого требуется лишь оценить сходства или различия между элементами,

Модель должна быть адекватна данным. Поскольку у нас нет никакой информации относительно самих стимулов, а есть лишь сведения об отношениях между ними, то модель, адекватная исходным данным, должна состоять из координатного пространства, в котором размещаются стимулы, и правил принятия решений о сходстве или различии между стимулами. Конфигурация стимулов в координатном пространстве должна обладать следующим свойством: похожие стимулы должны находиться близко друг от друга, а непохожие — далеко.

 

2. ТРИ ТИПА ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

 

Первый этап познания — восприятие. Восприятие человека может быть описано геометрической моделью в виде координатного пространства. Стимулы, которые кажутся человеку похожими, будут находиться в этом пространстве на небольшом расстоянии, а стимулы, которые воспринимаются непохожими,— на далеком. Такое психологическое пространство называют перцептивным или сенсорным [2].

Воспринимаемые стимулы записываются в память. Поэтому представляет интерес изучение другого типа психологических пространств — мнемического пространства [2]. Оно образовано множеством представлений стимулов в памяти.

В процессе обучения происходит формирование понятий, они складываются в сознании в определенную систему. Каждому реальному понятию соответствует определенный образ в мнемическом пространстве. Система образов, упорядоченная в системе понятий, образует знания. Чем четче организация этой системы, тем выше уровень знаний, тем легче ими пользоваться. Структуру понятий можно также выявить методами многомерного шкалирования и представить в геометрическом пространстве. Такое пространство носит название семантического [1]. Новые понятия сравниваются с уже запомненными и укладываются в хранящееся в памяти семантическое пространство.

Работа посвящена изучению трех типов психологических пространств: перцептивного, мнемического и семантического, отражающих особенности восприятия, хранения и воспроизведения точечных конфигураций.

 

3. ВОССТАНОВЛЕНИЕ КОНФИГУРАЦИИ ТОЧЕК ПО МАТРИЦЕ РАССТОЯНИЙ МЕТОДАМИ МНОГОМЕРНОГО ШКАЛИРОВАНИЯ

 

Допустим, что мы имеем конфигурацию точек в пространстве. Измерим расстояния между точками и занесем их в квадратную матрицу. Матрица расстояний в точности соответствует конфигурации точек. Этой информации о расстояниях между точками достаточно, чтобы восстановить их конфигурацию как твердое тело. Это тело, или конфигурацию точек, можно передвигать в координатном пространстве, вращать, но только как твердое тело. Существуют формальные методы, позволяющие воспроизвести конфигурацию точек, анализируя матрицу расстояний между точками. Среди них важное место принадлежит методам многомерного шкалирования.

Матрица расстояний содержит не только информацию о самих расстояниях, но и о размерности пространства, образованного данной конфигурацией точек. Если мы измерим расстояния между точками пространственной конфигурации, то не сможем расположить эти точки на плоскости, не исказив исходные расстояния. Точно так же невозможно расположить плоскую конфигурацию на прямой линии, сохранив при этом заданные расстояния. Таким образом, данные о расстояниях между точками позволяют восстановить конфигурацию в пространстве определенной размерности.

Если под рукой нет линейки, то расстояния между точками можно измерить на глаз. Если даже не сделать это очень точно, то с помощью формального анализа

 

132

 

воспроизвести конфигурацию все же можно достаточно хорошо. В случае, когда трудно оценить реальные расстояния, можно поступить следующим образом: выбрать две наиболее удаленные точки и принять расстояние между ними за единицу. Тогда другие расстояния можно оценить как половину от него, четверть и т. д. Если вы способны правильно соотнести расстояния, то получите решение, сохраняющее внутреннюю структуру исходной конфигурации. По этим данным можно оценить, насколько точно воспроизведена вся конфигурация точек. В случае, если точек много, достаточно оценить порядок расстояний, указав сначала самое большое, затем следующее по величине и т. д. до наименьшего.

 

4. МНОГОМЕРНОЕ ШКАЛИРОВАНИЕ

 

Цель многомерного шкалирования состоит в следующем, на основе субъективных данных о различиях между стимулами построить конфигурацию точек в координатном пространстве таким образам, чтобы расстояния между точками наилучшим образом передавали субъективные различия между соответствующими стимулами.

Формально задачу многомерного шкалирования можно поставить следующим образом. Пусть задана симметричная матрица различий между n стимулами: D=(D_ij), i,j=1,..., n. Необходимо перейти от матрицы D к матрице координат стимулов в пространстве фиксированной размерности r:X=(x_ik), i=1,...,n; k=1,...z, такой, чтобы матрица расстояний между этими стимулами, вычисленных по введенной метрике (чаще всего евклидовой): d= (d_ij) = 1,...n, была бы в смысле некоторого критерия возможно более близка к исходной матрице D.

Существуют различные подходы к решению задачи (см., например, [3]). Они основаны на минимизации линейных или нелинейных критериев расхождения между исходной матрицей различий D и соответствующей ей матрицей расстояний d в исходном пространстве. Методы многомерного шкалирования можно разделить на два типа — метрические и неметрические. Метрические методы [4] используют непосредственно элементы матрицы D. Неметрические методы [6], [8] учитывают не сами числа D_ij, а только их порядок. Иначе говоря, при построении конфигурации точек, характеризующей структуру анализируемого множества стимулов, в метрическом случае требуется, чтобы расстояния между этими точками соответствовали исходным различиям D_ij, а в неметрическом достаточно того, чтобы порядок этих расстояний соответствовал порядку различий.

 

5. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА И ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ

 

Работа направлена на исследование восприятия, категоризации, памяти человека, связанных с оценкой расстояний между точками, образующими конфигурацию. В первой серии экспериментов испытуемые оценивали расстояния между реальными точками на экране дисплея. Всего точек было десять. Во второй серии экспериментов оценивались расстояния между образами точек, хранящимися в долговременной памяти, и реально воспринимаемыми точками на экране дисплея. В третьей серии расстояния между точками оценивались только на основе понятий, связанных с образами точек, хранящимися в долговременной памяти. Три серии экспериментов можно соответственно соотнести с анализом особенностей перцептивного, мнемического и семантического пространств.

В экспериментах участвовало пять испытуемых, с каждым из которых было проведено три серии экспериментов. Чтобы минимизировать шум в исходных данных, эксперимент воспроизводился четыре раза, ответы усреднялись. Для предъявления экспериментального материала, регистрации ответов и последующей их обработки использовалась ЭВМ. Экспериментальные данные обрабатывались методами многомерного шкалирования [3].

Результаты получались в виде координат точек в психологическом пространстве испытуемого. Эти пространства представлялись в виде плоских изображений. Кроме того, подсчитывались коэффициенты корреляции. Коэффициент корреляции между истинными и субъективными расстояниями r_rs характеризует возможности испытуемого оценить расстояния между точками конфигурации. Коэффициент корреляции между субъективными расстояниями и расстояниями, вычисленными по модели, r_sm характеризует степень аппроксимации данных, т. е. качество модели многомерного шкалирования. И наконец, корреляция между истинными и модельными расстояниями r_rm характеризует общий результат, cкладывающийся из возможностей субъекта и метода восстанавливать психологические структуры. Результаты сведены в табл. 1. Для сравнения мы проводили специальный эксперимент: испытуемый оценивал на глаз расстояния между точками на самой конфигурации. Эти данные также приведены в табл. 1. Для демонстрации мы будем приводить

 

133

 

Таблица 1

 

Связь между заданными и оцениваемыми расстояниями между точками на плоскости

 

 

Примечание. r — реальные расстояния;s — субъективные оценки расстояний; m — расстояния, вычисленные по модели многомерного шкалирования

 

восстановленные психологические структуры только одного испытуемого.

 

6. ВОСПРИЯТИЕ И ПЕРЦЕПТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО

 

Для определения перцептивного пространства конфигурации точек проводился специальный эксперимент. Испытуемому давалась следующая инструкция. «Взгляните на конфигурацию точек (рис. 1) и постарайтесь оценить максимальное и минимальное расстояния между точками. Через некоторое время на экране дисплея вам будут в случайном порядке предъявляться фрагменты этой конфигурации, состоящее из двух точек. Вы должны оценить расстояние в баллах (от 1 до 9), сравнивая его с максимальным и минимальным расстояниями». Осредненные ответы были сведены в матрицу различий. После обработки ее методами многомерного шкалирования получили перцептивное пространство (рис. 2) с размещенными в нем образцами точек. Все рассчитанные точки расположились на плоскости и в общем приблизительно совпали с исходным их положением на экране дисплея. О точности совпадения можно судить, совместив рис. 1 и 2. Три коэффициента корреляции составляли для разных испытуемых: r_rs — от 0,901 до 0,943, r_rm — от 0,905 до 0,971, r_sm — от 0,897 до 0,952.

 

7. МНЕМИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО

 

Процесс познания постепенен. Он включает освоение все новых и новых образов. Каждый новый образ должен быть уложен в уже сложившуюся систему, Такой последовательный

 

134

 

Рис. 1. Точечная конфигурация.

 

путь пополнения образов представляется в мнемическом пространстве.

На экране дисплея предъявляется стимул (точка), испытуемого просят по памяти сопоставить его с каждым из уже известных десяти стимулов или с каждым из этих исходных десяти стимулов. Осредненные ответы сводятся в матрицу, обработка которой указывает на размещение образов исходных десяти точек в мнемическом пространстве. В случае построения мнемического пространства оцениваются расстояния между реальной точкой и точкой, удерживаемой в памяти. Это позволяет судить о том, с какой степенью точности удерживается в памяти исходная конфигурация точек. В наших экспериментах коэффициенты корреляции составляли: r_rs — от 0,865 до 0,925, r_sm — от 0,917 до 0,984, r_rm — от 0,814 до 0,922.

 

8. СТРУКТУРА ЗНАНИЙ И СЕМАНТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО

 

Моделью понятий здесь служат номера точек. После предъявления конфигурации точек на непродолжительное время (около 10 с) на экране попарно демонстрируются только номера точек. Испытуемый должен вспомнить, насколько эти точки были удалены друг от друга, и оценить в баллах. Чем короче предъявление, тем труднее запомнить связь номеров с положением точек. После обработки этих данных можно построить семантическое пространство (рис. 3) и выяснить, как знания о положении точек связаны в памяти с их условными обозначениями. Можно сделать вывод, что легче запоминаются большие и малые расстояния и труднее средние. Коэффициенты корреляции: r_rs — от 0,576 до 0,861, r_sm — от 0,785 до 0,953, r_rm — от 0,605 до 0,880.

По мере обучения связи фиксируются. После дополнительного обучения в виде повторения эксперимента семантическое пространство в значительно большей степени

 

 

Рис. 2. Перцептивное пространство. r_rs =0,992, r_rm=0,897, r_sm=0,942.

 

 

Рис. 3. Семантическое пространство. r_rs =0,837, r_rm=0,880, r_sm=0,884.

 

 

135

 

соответствует реальному. Дополнительное обучение влияет на структуру семантического пространства, по которому можно судить о совершенствовании системы знаний. Коэффициенты корреляции составили соответственно r_rs — от 0,775 до 0,882, r_sm — от 0,860 до 0,944, r_rm — от 0,783 до 0,869 после первого дополнительного обучения и r_rs — от 0,812 до 0,931, r_sm — от 0,903 до 0,949, r_rm — от 0,838 до 0,922 — после второго.

 

9. СУБЪЕКТИВНАЯ ГЕОГРАФИЯ

 

Аналогичным образом можно контролировать сложившуюся ранее систему понятий с участием долговременной памяти. Известно направление изучения географического семантического пространства, оно носит название субъективной географии [5], [7]. Мы провели две серии подобных экспериментов: одну — с названиями городов, равномерно разбросанных по всей стране; вторую — с названиями городов, расположенных только в европейской части СССР. На экране дисплея последовательно предъявлялись названия пар городов, и испытуемый, не видя карты, по памяти оценивал расстояния между ними по удобной ему шкале, в основном предпочитая шкалу 1 —100. Проанализируем наиболее типичные результаты, полученные по данным одного из испытуемых Коэффициент корреляции между расстояниями на карте и расстояниями, оцененными испытуемым, г_rs=0,590, коэффициент корреляции между субъективными расстояниями и расстояниями, рассчитанными по модели, r_sm=0,821, коэффициент корреляции между реальными и модельными расстояниями r_rm=0,535. Сравнив рассчитанные конфигурации городов с реальной картой, размещенной на плоскости, можно сделать следующие общие выводы. Вытянутость карты вдоль горизонтального направления не передается в полной мере, недооценены большие расстояния и переоценены малые. Расстояние между Владивостоком и Кишиневом оценено испытуемым в 90 баллов, а расстояние между Мурманском и Тбилиси — в 60. Отношение в семантическом пространстве составляет 1,5, в то время как в действительности оно равно 2,3. Сглажены резкие очертания карты: мыс Дежнева и Владивосток сдвинуты со своих параллелей к центру. Свердловск, напротив, не занял своего центрального места.

Испытуемому предъявили плоскую карту СССР размером 100X50 см, и через некоторое время повторили эксперимент. Взаимное расположение городов уже лучше соответствовало реальной карте, однако расположение их на плоскости более равномерно, чем в действительности, контуры карты все же остались сглаженными (r_rs = 0,701, r_sm = 0,940, r_rm = 0,641). Испытуемому предъявили карту второй раз. Через некоторое время после вторичного обучения эксперимент повторили (рис. 4). Очертания карты и взаимное расположение городов в большей мере совпадают с реальными (r_rs = 0,765, r_sm = 0,965, r_rm = 0,720). Коэффициенты корреляции для остальных испытуемых сведены в табл. 2.

 

 

Рис. 4. Субъективная карта СССР. r_rs =0,765, r_rm=0,720, r_sm=0,965.

 

У всех испытуемых субъективная карта сильно сжата вдоль горизонтального направления и не соблюдены пропорции реальной карты. Порядок следования городов по горизонтали сохраняется лучше, чем по вертикали. Для контроля мы подсчитали коэффициенты корреляции между реальным положением городов и их модельными координатами, отдельно по горизонтали и вертикали. Они записаны в табл. 3. Там же приведены коэффициенты корреляции между реальными и модельными расстояниями. Коэффициент корреляции оценивает подобие двух рядов чисел. Иначе говоря, характеризует степень сохранения постоянной пропорции. Во всех случаях, кроме одного, корреляция по горизонтали и вертикали отдельно значительно выше, чем корреляции интегральных расстояний. Характер табл. 3 свидетельствует, что субъекты хорошо запоминают относительные положения точек по каждому из направлений, но хуже запоминают

 

136

 

Таблица 2

 

Коэффициенты корреляции между субъективными оценками расстояний на карте СССР, их действительными значениями и расстояниями, вычисленными по модели двумерного субъективного пространства

 

 

Обозначения те же, что и в табл 1.

 

масштабы, т. е. соотношение двух шкал. Поэтому им трудно восстановить относительные положения точек, что приводит к значительным ошибкам при оценке психологических расстояний.

 

Таблица 3

 

Коэффициенты корреляции между положением городов на реальной и субъективной карте

 

 

Точно такие же эксперименты были проведены с названиями городов в европейской части СССР. По семантическим пространствам можно проследить изменения характера субъективной карты после предъявления реальной карты. Коэффициенты корреляции сведены в табл. 4. Однако на результатах отразился малый масштаб предъявляемой карты, испытуемый плохо запомнил расстояния между близкими городами.

Отсюда следует сделать вывод, что для запоминания очень важно, чтобы точки в конфигурации находились на значительном расстоянии друг от друга и расстояния между ними сильно различались. Похожие расстояния обычно влекут ошибки в ответах испытуемого.

 

10. ТОЧКИ НА ГЛОБУСЕ

 

Для проверки знания карты мира требуется более сложная процедура. Расстояния между городами в разных полушариях измеряются не по прямой, а по геодезической линии. Поэтому для восстановления конфигурации следует сначала перейти от римановой метрики к евклидовой.

Предложим испытуемому оценить относительные расстояния между городами, принимая за 100 расстояние между Северным и Южным полюсами. Поскольку расстояние между полюсами составляет половину диаметральной окружности, легко определить радиус сферы, приравняв πR = 100, отсюда R=100/π. Выберем две точки на сфере и соединим их радиусами с центром сферы (рис. 5). Длина дуги, связывающая эти две точки, S = Rα, отсюда α=S/R. Длина хорды, соединяющей их, также выражается через радиус D=2R sin α/2. Подставив выражение а через длину дуги, получим D=2R sin S/2R.

 

137

 

Таблица 4

 

Карта европейской части СССР. Коэффициенты корреляции

 

Обозначения те же, что и в табл. 1

 

Пересчитав таким образом риманову метрику в евклидову, можно использовать обычные методы многомерного шкалирования для восстановления конфигурации. Затем следует проверить решение: действительно ли результирующая конфигурация укладывается на сфере. Для этого необходимо подобрать центр сферы, от которого все точки конфигурации находятся на одинаковом расстоянии. Обозначим координаты i-й точки через (х_i1,…,(х_ir), r — размерность пространства, а координаты центра через (c₁,…,с_r), Пусть R — радиус сферы. Тогда уравнение сферы записывается в виде

 

 

Для нахождения центра сферы необходимо минимизировать среднеквадратичное отклонение

 

 

Значение этого функционала характеризует степень отклонения полученной конфигурации от сферической.

 

Рис. 5. Переход от евклидовой метрики к римановой

 

Проводя эксперимент с названиями городов на глобусе, мы пересчитали римановы расстояния в евклидовы и обработали вновь полученную матрицу. Для контроля обрабатывалась матрица исходных данных. Пересчитанные расстояния более точно укладывались в евклидовом пространстве. Формально это подтверждалось тем фактом, что разрыв между третьим и четвертым собственными значениями в методе Торгерсона [4] оказался более резким после перехода от римановой метрики к евклидовой. При проверке результатов было также подтверждено, что конфигурация, полученная в предположении, что данные соответствуют римановой метрике, лучше укладывается на сферу. Для исходной субъективной матрицы среднеквадратичное отклонение составляет 0,0719, а для пересчитанных данных — 0,0435.

 

11. ОБСУЖДЕНИЕ

 

В работе проанализированы способности человека воспринимать, запоминать и категоризировать геометрические конфигурации.

 

138

 

Рассмотрены три типа пространств, соответствующие восприятию, процессу накопления образов и сформированным знаниям. Во всех трех случаях, по данным о субъективных различиях между точками, воспроизводится размерность заданной конфигурации точек и с определенной степенью точности восстанавливается сама конфигурация.

Эксперименты показали, что точнее всего испытуемый оценивает расстояния на этапе восприятия, его перцептивное пространство хорошо отражает исходную конфигурацию точек. Мнемическое пространство можно соотнести с промежуточным этапом процесса обучения. Оно также в достаточной мере соответствует исходной конфигурации, хотя корреляция ниже, чем для перцептивного пространства. Результат обучения на уровне понятий может быть представлен путем построения семантического пространства. В наших экспериментах было обнаружено, что конфигурация точек в семантическом пространстве хуже всего отражает исходную конфигурацию. Так, после первого предъявления семантическое пространство довольно слабо соответствует реальной конфигурации. Легче запоминаются контрастные структуры, в памяти остаются большие и малые расстояния. Близкие расстояния испытуемый путает между собой. После каждого следующего предъявления материала семантическое пространство все лучше и лучше отражает реальную конфигурацию точек.

 

ВЫВОДЫ

 

1. Перцептивное пространство, восстанавливаемое по оценкам различий между воспринимаемыми стимулами, отражает заданную пространственную характеристику стимулов точнее, чем мнемическое или семантическое пространство.

2. Мнемическое пространство, восстанавливаемое по оценкам различий между реальными и запомненными стимулами, показывает, что в памяти образы стимулов упорядочены в соответствии с их восприятием, хотя точность локализации ниже, чем в перцептивном пространстве.

3. Семантическое пространство, восстанавливаемое на основе связи названий стимулов с пространственным размещением стимулов в мнемическом пространстве, является функцией обучения и может служить средством контроля за обучением.

 

1. Клацки Р. Память человека, структуры и процессы. М., 1979. 320 с.

2. Соколов Е. Н., Измайлов Ч. А. Цветовое зрение. М., 1984. 175 с.

3. Терехина А. Ю. Анализ данных методами многомерного шкалирования. М., 1986. 168 с.

4. Торгерсон У. С. Многомерное шкалирование. Теория и метод. // Статистическое измерение качественных характеристик. М., 1972. С. 95—118.

5. Kendall D. G. Construction of map from "odd bit of information".— Nature, 1971, V. 231, N 5299. pp. 158—159.

6. Kruskal J. B. Multidimensional scaling by optimizing goodness of fit to a nonmetric hypothesis // Psychometrika, 1964, V. 29, N 1—2. Pp. 1—27, 115—129.

7. Lundberg U. Ekman G. Subjective geographic distance: A multidimensional comparison // Psychometrika, 1973, V. 38, N 1 Pp. 113—122.

8. Shepard R. N. The analysis of proximities: multidimensional scaling with an unknown distance function // Psychometrika, 1962, V. 27, N 2—3. Pp 125—139, 219—246.

 

Поступила в редакцию 21.II 1986 г.