Вы находитесь на сайте журнала "Вопросы психологии" в девятнадцатилетнем ресурсе (1980-1998 гг.).  Заглавная страница ресурса... 

56

 

РАЗВИТИЕ СТРУКТУРЫ ПРОСТРАНСТВЕННОГО МЫШЛЕНИЯ

 

И.Я. КАПЛУНОВИЧ

 

Изучение и формирование структуры пространственного мышления (ПМ), рассматриваемого в психологии как специфический вид мыслительной деятельности, основным содержанием которой является оперирование пространственными образами (ПО) в процессе решения задач [23], имеет большое теоретическое и практическое значение. Сформированность ПМ рассматривается как существенный показатель общего интеллектуального развития, проявления специальных способностей личности.

Важное своеобразие ПМ обнаруживается в математической деятельности. «В то время как представления логико-арифметического содержания заключаются в том, чтобы непространственно-временные преобразования привести к пространственной форме,отмечает Ж. Пиаже, пространственное представление1 переводит пространственный объект в пространственную же форму и пространственные операции (перемещение, проецирование и т.д.) в преобразования, совершающиеся также в пространстве и представляющие тем самым образный (figuratif), а не исключительно операторный аспект. То есть сами преобразования становятся, в некотором смысле, фигурами пространства» [25; 408].

Отмечая значительную роль ПМ в интеллектуальном развитии учащихся, в усвоении ими различных школьных дисциплин, в том числе и математики, исследователи (психологи и педагоги) предлагали развивать его путем формирования системы понятий, приемов умственной деятельности, геометрического и математического воображения, знаний и навыков и т. д. При этом изучалась роль ПМ в решении задач, анализировались результаты деятельности (усвоение знаний, умений, навыков, продуктивность работы), по которым выявлялись особенности психических процессов, обеспечивающие эти результаты.

В частности, в работах, посвященных анализу ПМ, исследовалась зависимость продуктивности решения графических задач от осознанности мыслительных операций, функций зрительной опоры, типов ориентировки в пространстве, индивидуальных особенностей уровня развития ПМ, способа решения задачи. Значительное внимание уделялось исследованию механизмов создания ПО, в то время как процесс оперирования уже имеющимися в представлении образами, составляющий главное содержание ПМ [23], и его структуpa

 

57

 

оставались за пределами анализа2. Изучение этих особенностей при усвоении учащимися математики, а также некоторые возрастные и индивидуальные различия, проявляющиеся в процессе этой деятельности, и явились предметом нашего анализа.

Опираясь на известное положение Ж. Пиаже о гомоморфизме3 структур мышления основным математическим структурам4 [25], [26], мы в проведенном ранее исследовании [11] определили структуру ПМ при решении математических задач следующим образом. Под структурой ПМ понимается система, представляющая собой многоуровневую совокупность множеств мыслительных операций, осуществляемых в представлении над ПО, гомоморфная группе аффинных преобразований5 с заданными на множествах отношениями.

Исходя из указанного положения Ж. Пиаже и определения структуры ПМ, нами были разработаны матричная и графовая модели данной структуры, опираясь на которые мы дали ее конструктивное определение, строго очерчивающее систему конкретных действий. Владение ими свидетельствовало о высоком уровне развития ПМ. Эту оптимальную, как показали наши исследования [11], структуру указанного вида мышления мы назвали группой мыслительных операции и определили ее так.

Структура ПМ образует группу мыслительных операций, если человек выполняет не только отдельные операции, но, кроме того, умеет: 1) совершать определенную совокупность преобразований и их композиций над образами пространственных фигур в любой последовательности; 2) заменять композиции операций одной из данной совокупности; 3) быстро и свободно переключаться с прямой операции на обратную и по результату указанного преобразования восстанавливать исходные данные [11].

Исходя из данного определения, а также в соответствии с указанным положением Ж. Пиаже, группа мыслительных операций является гомоморфным «образом» алгебраической группы в математике. Однако не следует думать, что здесь происходит отождествление различных преобразований элементов пространства с характеристиками структур ПМ. Так, с математической точки зрения рассматриваемая группа аффинных преобразований пространства есть не что иное, как группа невырожденных матриц третьего порядка над полем действительных чисел, т. е. совокупность некоторых абстрактных математических объектов (понятий)

 

58

 

и операций над ними. В то же время группа мыслительных операций представляет собой определенную систему действий над образами6.

Проведенные нами психологические исследования показали, что наличие группы мыслительных операций обеспечивает довольно высокий уровень развития ПМ испытуемого: овладение им разнообразными действиями по оперированию ПО (мысленными поворотами, параллельными переносами), использование рациональных способов оперирования этими образами (отображение образа целиком, отображение его элемента и экстраполяция результата), применение разных видов оперирования (внутреннего и внешнего), наличие важных качеств ПМ (динамичность, осознанность, обобщенность), которыми обладают не только отдельные операции, но и их системы (взаимосвязи и отношения)7.

Однако в результате дальнейших наблюдений мы выявили интересную закономерность: испытуемые с высокоразвитым ПМ, легко осуществлявшие в представлении каждую операцию и композицию одинаковых преобразований (например, композицию нескольких гомотетий8 с общим центром и постоянным коэффициентом), часто затруднялись осуществлять композиции различных преобразований (например, параллельного переноса и поворота или композиции нескольких гомотетий с разными центрами и коэффициентами). Если в первом случае возникшую трудность можно было объяснить необходимостью оперировать образом внутри не одной, а нескольких мыслительных структур (групп мыслительных операций), то во втором когда преобразование выполнялось в рамках одной структуры (в данном случае группы гомотетий) это наблюдение сразу не могло быть объяснено. Его анализ привел нас к выводу о наличии внутри каждой структуры некоторых особенностей, связанных с характером самих композиций, которые и порождают различную психологическую трудность осуществления композиции одноименных пространственных преобразований.

Обратившись к предметному содержанию деятельности выявлению математических отношений в рамках различных групп геометрических преобразований, сопоставляя эти отношения с психическими особенностями осуществления испытуемыми композиции пространственных преобразований и учитывая гомоморфизм между математическими структурами и структурами ПМ, мы пришли к предположению о наличии в каждой группе мыслительных операций ПМ так называемой порождающей подструктуры. Ею мы назвали такое подмножество мыслительных операций и их композиций исходной группы, элементы которого обладают следующим свойством: любая операция (элемент) заданной группы может быть представлена в виде конечной композиции операций (элементов) из ее подмножества (или операций, им обратных). Так, например, решение задачи «найти все повороты в плоскости, при которых данный правильный шестиугольник отображается на себя» предполагает наличие у испытуемых группы мысленных поворотов на углы 60° , 120° , 180° и т.д. Порождающая подструктура указанной группы состоит из мыслительной операции поворота на 60° и ей обратной. Иначе говоря, порождающая подструктура представляет собой совокупность действий по оперированию ПО, более того, она является нормой деятельности с элементами пространства.

Легко заметить, что у одной и той же группы мыслительных операций ПМ может существовать много порождающих подструктур. В частности, к ним относится и вся группа. Так, при решении приведенной выше задачи в качестве порождающих может выступать множество,

 

59

 

состоящее из двух мыслительных операций мысленных поворотов на 120° и 180° и операций, им обратных. В связи с этим в дальнейшем мы выбирали и рассматривали минимальную из этих подструктур (по количеству входящих в нее операций элементов), а в случае бесконечных подструктур подструктуру наименьшей мощности9.

Следовательно, порождающая подструктура несет в себе как качественную характеристику соответствующей группы мыслительных операций, определяя норму деятельности с ПО, так и количественную характеристику, определяя мощность (порядок) соответствующей группы.

 

МЕТОДИКА

 

Анализируя структуру ПМ при решении математических задач, мы ставили перед собой цель изучить психологический механизм самих групп мыслительных операций, в частности порождающих подструктур: их особенности, иерархию. При реализации этой цели путем теоретического анализа описанных выше факторов мы сформулировали гипотезу исследования.

Группы мыслительных операций ПМ представляют собой сложные психические образования, а именно: каждая из них характеризуется, в свою очередь, так называемой порождающей подструктурой, в зависимости от которой и получаются различные виды групп мыслительных операций ПМ и которая является определенной нормой деятельности по преобразованию элементов пространства. Различные порождающие подструктуры могут быть иерархизированы по степени психологической трудности овладения ими и их использования в процессе осуществления пространственных преобразований. Порождающая подструктура составляет ядро группы мыслительных операций, т.е. формирование такой подструктуры является необходимым и достаточным условием формирования всей группы.

Приступая к экспериментальной апробации гипотезы, мы ставили перед собой следующие задачи: 1) выявить различные виды композиций мыслительных операций ПМ (по степени трудности их осуществления) и в соответствии с ними сопоставить между собой образуемые ими группы с точки зрения их порождающих подструктур; 2) осуществить экспериментальное формирование порождающих подструктур и определить их иерархию по степени психологической трудности овладения ими; 3) установить взаимосвязь между развитием в структуре ПМ порождающих подструктур и соответствующих им групп мыслительных операций.

Для апробации гипотезы и решения задач исследования по специальной методике (см. [11]) нами были отобраны по 30 учащихся VIII и Х классов с высокоразвитым ПМ. Предварительно школьники обучались мышлению вслух. В качестве основных мы использовали методы «переформулирования задач» и «подсказок» (по терминологии С.Л. Рубинштейна и К.А. Славской). Задания предлагались в вербальной форме (на карточках) без всяких наглядных опор. Решать задачи рекомендовалось в представлении. Однако если это сделать было трудно, то испытуемому разрешалось начертить схематическое изображение на бумаге. Задания не требовали сложных рассуждений и громоздких вычислений. Их легко было выполнить при наличии адекватных ПО и умения осуществлять над ними в представлении каждую операцию и композицию операций параллельного переноса, поворота, центральной и осевой

 

60

 

симметрии, гомотетии, ортогонального и параллельного проецирования10.

Испытуемые приступали к решению экспериментальных задач, которые предъявлялись в такой последовательности.

Задания I серии были направлены на выявление в структуре ПМ испытуемого конечной группы мыслительных операций, порождающая подструктура которой состоит из трех элементов (и их композиций): прямой, обратной ей и тождественной операции. Порождающим здесь является один элемент, поэтому такую структуру мы назвали однопорожденной конечной группой. О ее наличии в ПМ можно было судить, например, по успешному решению испытуемым задач, требующих осуществления в представлении композиции поворотов с общим центром на угол, кратный 180°. В частности, такой задачей может служить задание: найти величины всех поворотов в плоскости (пространстве), отображающих квадрат (тетраэдр) в себя. В этом случае порождающую подструктуру составляют повороты на 90° (120°), обратный ему на 270° (240°), тождественныйна и их композиции. Генетически исходным (порождающим) элементом является поворот на 90° (120°). Сама группа конечна. Ее образуют мысленные повороты на 0°, 90°, 180° и 270° (0°, 120° и 240°) и их композиции.

Выполнение заданий II серии выявляло наличие в структуре ПМ испытуемого бесконечной группы мыслительных операций, порождающим элементом которой, однако, по-прежнему является одна операция. (В дальнейшем для краткости эту структуру будем называть однопорожденной бесконечной группой.) Здесь мы использовали задачи на композицию одинаковых преобразований, таких, как параллельный перенос на некоторый фиксированный вектор, гомотетия с постоянным коэффициентом.

Решение задач III серии было направлено на выявление в структуре ПМ испытуемых конечной группы мыслительных операций, порожденной конечным числом элементов (операций), т.е. конечнопорожденной конечной группы. Эта группа необходима для решения задач на композицию неодинаковых преобразований: поворотов с общими центрами и различными углами, кратными π, поворота на угол, кратный π и осевой симметрии и т. д. В первом случае порождающих элементов будет столько, сколько задано поворотов, во втором только два: указанный поворот и симметрия. Типичным представителем этого класса задач могут служить задания отыскать все композиции перемещения плоскости или пространства, переводящих заданную фигуру (треугольник, квадрат, тетраэдр и т.д.) в себя.

Решение испытуемыми задач IV серии было необходимо для выявления в структуре их ПМ бесконечной группы, для которой порождающей подструктурой является конечное множество элементов (операций), т.е. конечнопорожденной бесконечной группы мыслительных операций. В этой серии предлагались задачи на композицию неодинаковых преобразований, например, таких как параллельные переносы и повороты на угол, не кратный 180° . Заданиями этого вида можно считать геометрические задачи на построение сечений в многогранниках и круглых телах («когда в сечении пирамиды плоскостью можно получить прямоугольник?» и т.п.).

Наконец, V серию опытов мы основывали на том, что структура ПМ обладает бесконечнопорожденной группой мыслительных операций (порождающее множество которой состоит из бесконечного числа элементов), если испытуемый мог самостоятельно осуществить композицию нескольких поворотов с общим центром и такими величинами углов, не кратными 180° , при которых ни одна из величин не является делителем другой. Другими словами, поворот на один угол не является композицией поворотов на другой угол. К этому же классу задач относятся задания на выполнение композиции нескольких

 

61

 

гомотетий с общим центром, но разными коэффициентами и др.

В констатирующем эксперименте участвовали лишь испытуемые, владевшие каждой из перечисленных выше операций, которые были у них обратимы (свойство 3 в определении группы). При отсутствии в структуре ПМ испытуемого той или иной группы мыслительных операций (что также специально устанавливалось в предварительном эксперименте) ему предлагалось выполнять соответствующие (отсутствующие) композиции операций. Если испытуемый решал задачи одной серии, то ему предлагалась композиция следующей серии и т.д.

Таким образом, в констатирующем эксперименте устанавливалось, какие группы мыслительных операций и их порождающие подструктуры сформированы в ПМ испытуемых, какими операциональными характеристиками оно обладает, какие индивидуальные различия вызывает наличие или отсутствие в структуре данного вида мышления каждого из трех условий группы мыслительных операций.

Для дальнейшего анализа роли и места порождающих подструктур в данном психическом процессе мы провели обучающий эксперимент. Основные задачи этого этапа исследования заключались в ликвидации «психических неисправностей» ПМ, обнаруженных у испытуемых в ходе констатирующего эксперимента, в формировании у них основных порождающих подструктур с учетом наличного уровня развития мышления, в выделении основных принципов методики эффективного формирования процесса оперирования ПО и в выявлении влияния обучения на развитие всей структуры ПМ. Для этого с испытуемыми, участвовавшими в констатирующих сериях, мы провели индивидуальные занятия, на которых они решали от 10 до 60 экспериментальных задач. Система заданий подбиралась индивидуально и была направлена на формирование тех порождающих подструктур, которые до этого отсутствовали в ПМ испытуемых. Обучение строилось с учетом нескольких принципов.

Прежде всего осуществлялось обучение мысленному выполнению каждого математического преобразования (повороту, гомотетии и т.д.) и их композиций над образами геометрических фигур. При этом мы следили за постепенным композиционным усложнением математического объекта. Это обеспечивалось тем, что на каждом этапе испытуемые сначала овладевали преобразованиями и их композициями в случае двухмерного пространства, а затем и трехмерного. Вместе с тем изменялись условия оперирования образом на основе исходной наглядности. Сначала задания предусматривали конструирование и использование моделей геометрических фигур. Затем (при необходимости) в качестве наглядной опоры использовались изображения с постепенным увеличением их абстрактности (иллюстративные, проекционные, символические). И наконец, на заключительном этапе от испытуемых требовалось выполнение заданий без всяких наглядных опор. Что касается упражнений, то они подбирались таким образом, чтобы их выполнение способствовало формированию не любых отдельных операций и их композиций, а таких, которые в совокупности (композиции) давали бы любой элемент определенной группы мыслительных операций ПМ11. Сформировав одну порождающую подструктуру (например, для однопорожденной конечной группы), мы переходили к формированию следующей (для однопорожденной бесконечной группы) в соответствии с последовательностью предъявления заданий в пяти сериях констатирующего эксперимента.

 

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

 

Результаты проведенного эксперимента полностью подтвердили гипотезу исследования. Прежде всего они доказали возможность дальнейшего конструктивного изучения ПМ как сложного психического образования и его

 

62

 

важнейшей структуры группы мыслительных операций.

Оказалось, что испытуемые с высокоразвитым ПМ могут быть дифференцированы по уровню овладения группой мыслительных операций. Одни владеют лишь отдельными свойствами групповых отношений, например умеют осуществлять в представлении как прямые, так и обратные преобразования ПО (в смысле свойства 3 в определении группы), выполняют некоторые композиции операций. У других сформированы только конкретные (отдельные) групповые структуры (как правило, это группы поворотов с общим центром, гомотетий с общим центром и постоянным коэффициентом) и не сформированы такие структуры, как композиции разноименных (например, параллельного переноса и поворота) и одноименных преобразований (параллельных переносов на неколлинеарные векторы, гомотетий с разными коэффициентами). Наконец, третьи владеют различными группами независимо от содержания составляющих операций.

Уровень овладения той или иной групповой структурой определяется, с одной стороны, уровнем сформированности отдельных групповых свойств, а с другой видом композиций операций, входящих в данную группу. При этом первый из двух указанных критериев оказывается, в свою очередь, тесно связанным со вторым. В зависимости от того, какие именно операции составляют композицию, испытуемый умеет или не умеет осуществлять последнюю в представлении12, а следовательно, и изменять последовательность входящих в нее операций (I свойство группы) и заменять композицию двух преобразований одним (II свойство группы). Из сказанного вытекает, в частности, важный вывод о том, что сами групповые свойства не равнозначны с точки зрения их влияния на уровень развития всего ПМ, а именно: дифференцирующим моментом оказываются два первых свойства группы, тогда как последнее составляет необходимое условие наличия групповой структуры и тем самым не может быть «более или менее» сформированным, им владеют все испытуемые с высоким уровнем развития ПМ13. Следовательно, психологическая трудность овладения и использования той или иной группы определяется трудностью осуществления в представлении тех композиций, которые ее составляют.

При этом некоторые композиции разноименных (например, различных параллельных переносов и поворотов) и одноименных операций характеризуются наибольшей трудностью для осуществления во внутреннем плане. Причем они устойчиво дифференцируются не только по принадлежности совершаемых в представлении пространственных манипуляций к различным группам [11], но и в рамках одной группы. Например, композиция гомотетий с общим центром и постоянным коэффициентом или параллельных переносов на заданный вектор осуществлялись и формировались у испытуемых значительно легче, чем композиции гомотетий с различными коэффициентами или параллельных переносов на неколлинеарные векторы. Следовательно, в рамках одной группы мыслительных операций (например, гомотетий или параллельных переносов) могут быть выделены более простые и более сложные для использования и овладения блоки композиций, с помощью анализа которых объясняется психологический механизм возникающих трудностей.

Занимаясь далее классификацией этих трудностей, мы пришли к выводу, что их основу составляет наличие внутри группы различных порождающих подструктур. Констатирующий эксперимент показал, что те испытуемые, в ПМ которых были сформированы порождающие подструктуры, владеют соответствующими этим подструктурам композициями и группами мыслительных операций (умениями, указанными

 

63

 

в определении группы). У испытуемых с определенными группами мыслительных операций в ПМ были и соответствующие порождающие подструктуры. Вместе с тем у школьников, владевших не всеми группами мыслительных операций в структуре ПМ, не было именно тех подструктур, которые соответствовали отсутствующим композициям и группам, а отсутствие порождающих подструктур влекло за собой отсутствие адекватных композиций и групп. Следовательно, уровень овладения группами мыслительных операций и трудности осуществления различных видов композиций находятся в прямой зависимости от имеющихся в ПМ подструктур, а именно порождающих подструктур, которые являются более мелким структурным элементом данного вида мышления, детерминирующим наличие или отсутствие той или иной группы в структуре ПМ. Таким образом, можно считать, что порождающие подструктуры образуют именно ядро группы, ее психологический, генетически исходный элемент.

Из всего сказанного следует общий вывод: уровень овладения той или иной группой мыслительных операций, используемой при решении математических задач, объясняется не математической сложностью гомоморфной ей алгебраической структуры (группой геометрических преобразований), а зависит от существования внутри группы мыслительных операций различных порождающих подструктур, определяющих трудность овладения как композициями операций, так и отдельными групповыми свойствами.

Рассматривая далее особенности структуры ПМ, мы обнаружили, что различные виды порождающих подструктур определяют, в свою очередь, различные типы неравнозначных, с точки зрения психологической трудности овладения и использования при оперировании ПО, алгебраических подструктур ПМ, а именно одноконечно- и бесконечнопорожденные группы мыслительных операций. Самыми простыми и легкими для осуществления в представлении и для формирования являются однопорожденные группы, которые могут быть конечными и бесконечными. Психологические различия этих двух подвидов групп состоят в возможности (в случае 1) или невозможности (в случае 2) возвращения ПО в исходное (первоначальное) положение в результате только конечного числа композиций указанной операции. Вместе с тем если в случае конечных групп испытуемый имеет дело с конечным повторяющимся набором ПО, то в случае бесконечных групп каждая операция и их композиция дает новые ПО и оперировать приходится опять-таки новыми образами.

Более трудными являются конечно-порожденные группы, среди которых, так же как и в предыдущем случае, конечные группы психологически проще, чем бесконечные. Механизм различия этих двух подвидов конечно-порожденных групп тот же самый, что и в случае однопорожденных. Большую трудность в данном случае можно объяснить усложнением композиционной структуры (порождающая подструктура состоит не из одной, а из нескольких операций ПМ).

Самую большую трудность для испытуемых представляют бесконечнопорожденные группы, что объясняется несколькими обстоятельствами. Это связано со сложностью самой структуры такой группы (в данном случае порождающая подструктура состоит из бесконечного множества операций). Вместе с тем она включает в качестве подгрупп все одно- и конечнопорожденные подструктуры. Наконец, все рассматриваемые бесконечнопорожденные группы являются не только «алгебраическими», но в то же время и «топологическими», т.е. представляют собой элементы принципиально другой (топологической) структуры, несводимой и невыводимой из «алгебраической» структуры14.

Указанной иерархией порождающих подструктур можно объяснить ряд фактов, обнаруженных в констатирующем эксперименте.

 

64

 

Как отмечалось выше, обратимостью мыслительных операций ПМ (III свойство группы) испытуемые овладевали более легко по сравнению с первыми двумя групповыми свойствами. Это происходило потому, что любая обратная операция является элементом однопорожденной (конечной или бесконечной) группы (порождающий элемент здесь прямая операция), которая является наиболее легкой для овладения и использования.

Отметим и тот факт, что для выполнения в представлении разноименных преобразований испытуемый должен обладать конечнопорожденной группой. Если для осуществления одноименных операций в большинстве случаев достаточно владеть однопорожденной группой, то для выполнения разноименных в ПМ обязательно должна быть психологически более трудная конечно-порожденная группа. Ввиду этого композиции разноименных операций, как правило, осуществляются труднее.

Наконец приведем еще одно различие между математической и психологической классификацией объективной сложности и субъективной трудности алгебраической группы и гомоморфной ей группы мыслительных операций ПМ. Последнее проинтерпретируем экспериментальным наблюдением за осуществлением испытуемыми двух поворотов на и 30°. С математической точки зрения группы, порожденные поворотами на и 30°, в принципе одинаковы (отличие здесь разве что в порядке этих групп). С психологической же это принципиально разные структуры уже по содержанию. Рассмотрим это различие, например, с позиций обратимости операций в математике и в структуре ПМ (III свойство группы),

Для поворота на 30° испытуемые легко отыскивали обратное преобразование поворот на 330°. Обратное же преобразование для поворота на они находили значительно труднее15. Это объяснялось тем, что хотя с математической точки зрения группа, порожденная поворотом на 7°, является конечной циклической (однопорожденной) , с психологической точки зрения для испытуемых она выступает практически как однопорожденная бесконечная: ни один школьник даже не пытался получить тождественное преобразование с помощью композиции поворотов на 7°16 (для этого преобразование надо осуществить 359 раз). Именно поэтому группа мыслительных операций, порожденная поворотом на 7°, субъективно труднее аналогичной структуры ПМ, порожденной поворотом на 30°.

Таким образом, выявленной нами иерархией порождающих подструктур объясняется неравнозначность психологических трудностей осуществления в представлении различных видов композиций геометрических преобразований над ПО, овладения и использования различных групп мыслительных операций ПМ. Именно наличием в группе мыслительных операций порождающих подструктур, их иерархией можно объяснить те устойчивые различия испытуемых в решении геометрических задач на пространственные преобразования, которые были отмечены выше.

О существовании в структуре ПМ порождающих подструктур как своеобразного генетически исходного ядра свидетельствовали и результаты обучающего эксперимента, в ходе которого выяснилось следующее. Если у испытуемого сформировать в указанной выше последовательности одно- и конечнопорожденные структуры, то бесконечная подструктура появляется автоматически, в качестве «формального эффекта обучения» (по терминологии Л.С. Выготского). Этот феномен можно объяснить, рассмотрев структуру бесконечнопорожденных групп с двух сторон. С одной стороны, как развитие умения осуществлять в представлении

 

65

 

все большее и большее число композиций пространственных преобразований, которое происходит в процессе овладения различными одно- и конечнопорожденными группами, с другойкак обобщение (перенос) умений, сформированных в предыдущих четырех случаях, на решение задач, требующих наличия в структуре ПМ бесконечнопорожденных групп.

Вместе с тем оказалось, что в случае одно- и конечнопорожденных групп достаточно формировать не все возможные наборы композиций, а лишь те, которые образуют порождающие подструктуры. Их формирование служит достаточным условием развития всей группы мыслительных операций, так как при формировании порождающих подструктур соответствующая группа возникает также в качестве «формального эффекта обучения». Следовательно, наличием указанных подструктур в каждой группе мыслительных операций ПМ можно, по-видимому, объяснить психологический механизм этого феномена и таким образом априори определять тот «формальный эффект обучения», который будет получен при овладении каждой порождающей подструктурой.

Два последних факта имеют, на наш взгляд, большое практическое значение для конструирования и психологического обоснования программ по математике в школе и вузе. Действительно, появление бесконечнопорожденных групп в качестве «формального эффекта обучения» позволяет строить иной, более эффективный и экономный, нежели разработанный нами ранее [11], [12] метод формирования наиболее высокого уровня развития структуры ПМ. Он заключается в том, что для овладения высокоразвитым ПМ испытуемому не надо формировать все компоненты и отношения названной структуры (см. графы в работе [11]). Ему достаточно овладеть лишь четырьмя порождающими подструктурами (одно- и конечнопорожденные конечные и бесконечные). Тогда вся структура ПМ появляется в качестве «формального эффекта обучения». Определив же теоретическим путем порождающие подструктуры, построив в соответствии с ними последовательность курса математики и используя разработанную нами методику формирования ПМ, можно еще до обучения прогнозировать его максимально возможный результат. Это, в свою очередь, будет способствовать решению таких важных задач, поставленных реформой общеобразовательной и профессиональной школы, как устранение дублирования учебного материала и снижение перегрузки учащихся. Действительно, предложенный метод позволяет установить минимальный объем знаний, умений и навыков учащихся, необходимый для формирования у них группы мыслительных операций высшего уровня развития структуры ПМ [11].

Таким образом, проведенное нами исследование позволило реализовать и конкретизировать для ПМ положение Ж. Пиаже о гомоморфизме математических структур и структур мышления. В результате были выявлены общие характеристики его структурыгруппы мыслительных операций и ее ядро порождающие подструктуры, вскрыты важные индивидуальные особенности оперирования ПО в процессе математической деятельности, а именно: установлены различия в трудности оперирования и причины, их обусловливающие; иерархизированы виды отдельных подструктур структуры ПМ по степени психологической трудности их осуществления и овладения ими в процессе обучения. Настоящая работа позволила вскрыть структуру самой группы мыслительных операций. Оказалось, что последняя представляет собой сложное психическое образование, в основе которого лежит так называемая порождающая подструктура. Эта подструктура служит как качественной характеристикой соответствующей группы, определяющей норму деятельности по преобразованию элементов пространства, так и количественной, указывающей порядок данной группы. Это позволяет иерархизировать различные порождающие подструктуры по степени психологической трудности овладения ими. Более того, выделенные нормы деятельности

 

66

 

с ПО составляют ядро группы мыслительных операций в том смысле, что формирование порождающих подструктур является необходимым и достаточным условием формирования соответствующей группы. Полученные данные вполне могут быть использованы при конструировании и психологическом обосновании программ по математике, разработке системы упражнений для развития ПМ учащихся и студентов17.

Дальнейший анализ порождающих подструктур, уровня их сформированности в процессе решения невербальных задач и усвоения визуальной информации, определение условий для получения максимального «формального эффекта обучения», установления взаимосвязей различных структур мышления («алгебраических», «топологических», «метрических») в процессе математической деятельности явится следующим шагом нашего теоретического и экспериментального изучения данного психического процесса.

 

1. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Начала стереометрии, 10. М., 1982.— 191 с.

2. Базылев В. Т., Дуничев К. И., Иваницкая В. П. Геометрия. М., 1974.— 351 с.

3. Болтянский В. Г., Волович М. Б., Семушин А. Д. Геометрия, VIII класс. М., 1977.— 160 с.

4. Болтянский В. Г., Волович М. Б., Семушин А. Д. Геометрия, VIII класс: Учебное пособие. М., 1973.— 182 с.

5. Брозгул С. А. Математические структуры и преподавание математики // Экспериментальные исследования по проблемам усовершенствования учебно-воспитательного процесса в начальных классах и подготовке детей к школе. Материалы II Всесоюзного симпозиума. Тбилиси, 1974 Т. 1. С. 576—583.

6. Гальперин П. Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий // Исследования мышления в советской психологии / Под ред. Е. В. Шороховой. М., 1966 .C. 259—276.

7. Гончаров В. Л. Математика как учебный предмет // Известия АПН РСФСР. 1958. № 92. C. 42—67.

8. Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении. М., 1972.— 424 с.

9. Давыдов В. В. Умственное развитие младших школьников в процессе обучения //  Психолого-педагогическое изучения личности школьника. М., 1977. C. 10—27.

10. Ительсон Л. Б. Структура, уровни и операции образного мышления // Тезисы докладов к XX Международному психологическому конгрессу (13—19 августа, г. Токио). М., 1972. C. 80—83.

11. Каплунович И. Я. О структуре пространственного мышления при решении математических задач // Вопр. психол. 1978. № 3. C. 75—84.

12. Каплунович И. Я. Показатели развития пространственного мышления школьников // Вопр. психол. 1981. № 5. C. 151—157.

13. Манджавидзе Л. Г. Психологические особенности ориентации детей в отношениях объектов (на примере математических величин): Автореф. канд. дис. М., 1977.— 24 с.

14. Маркушевич А. И. К вопросу о реформе школьного курса математики // Математика в школе. 1964. № 6. C. 4—8.

15. Орфеев Ю. В., Тюхтин В. С. Мышление человека и «искусственный интеллект». М., 1978.— 149 с.

16. Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для 6—10 классов средней школы. М., 1984.— 288 с.

17. Погорелов А. В. Геометрия. М., 1983.— 288 с.

18. Приеде М. X. Аффинные вопросы в курсе геометрии // Преемственность в учебно-воспитательной работе между вузом и школой по математике. Даугавпилс, 1977. C. 122—124.

19. Столяр А. А. Педагогика математики. Минск, 1974.— 384 с.

20. Федотова Т. Я. Использование математических структур для осуществления межпредметных связей в восьмилетней школе // Преемственность в обучении математике. М., 1978. C. 36—41.

21. Шапиро С. И. От алгоритмов к суждениям: Эксперименты по обучению элементам математического мышления. М., 1973.— 288 с.

22. Эрдниев П. М. Преподавание математики в школе. М., 1978.— 304 с.

23. Якиманская И. С. Развитие пространственного мышления школьников. М., 1980.— 240 с.

24. Янченко А. М. Методические основы применения группы перемещений в курсе геометрии: Автореф. канд. дис. М., 1976.— 22 с.

25. Piaget J. L'image mental ches l'enfant. Paris, 1966.— 461 p.

26. Piaget J. Les structures mathematiques et les structures operatoires de 1'intelligense // Piaget J. e.a. L'enseignement des mathematiques. Paris, 1955.— 173 p.

 

Поступила в редакцию 19.IV 1985 г.



1 В действительности же здесь речь идет не о пространственных представлениях, а о ПМ, что видно из контекста работы.

2 Оригинальную попытку вскрыть данный процесс оперирования, а также выявить его возрастные и индивидуальные особенности в некоторых видах учебной и профессиональной деятельности предприняла И.С. Якиманская [23]. Однако решение этих проблем в процессе математической деятельности ею не рассматривалось.

3 Сам Ж. Пиаже использовал термин «изоморфизм». Однако, с нашей точки зрения, термин «гомоморфизм» точнее и чаще используется в работах советских авторов [6], [10], [15], [21].

4 Не касаясь в целом анализа концепции Ж. Пиаже о природе детского мышления, которая в настоящее время является дискуссионной, мы согласны с ним в том, что в преподавании математики должен устанавливаться гомоморфизм между структурами математическими и структурами мышления, который намечает, по меткому выражению А. И. Маркушевича, подлинный «детский путь в математику» [14; 5]. О целесообразности такого обучения не раз говорили советские психологи, методисты, математики и предлагали конкретные пути реализации этой идеи в школе [5], [7], [8], [9], [13], [18], [20], [22]. Необходимо отметить, что изучение некоторых алгебраических структур предполагалось ввести в школьную программу по математике и, по мнению некоторых наших методистов, отсутствие этих общих понятий в программе носит временный характер [19; 256], [24]. Поэтому и сейчас продолжается исследование возможностей изучения некоторых понятий основных математических структур в систематическом курсе математики средней школы [1], [3], [4], [24].

5 Аффинные преобразования самые общие взаимно однозначные отображения плоскости (пространства) на себя, сохраняющие прямые линии, взаимное расположение двух прямых. Примером этих преобразований служат перемещения плоскости или пространства (поворот, осевая симметрия и т.д.), преобразования подобия, равномерное сжатие плоскости к прямой и др.

6 Еще одно выявленное нами принципиальное различие между математической структурой преобразований пространства и психологической структурой ПМ будет указано ниже (см. с. 64).

7 Подробное содержание этих характеристик раскрыто в работе [12].

8 В школьном учебнике геометрии гомотетия рассматривается как такое преобразование, при котором точка с координатами (х, у) переходит в точку с координатами (kx, ky), где коэффициент k 0.

9 Не следует думать, что если порождающая подструктура конечна (состоит из конечного числа элементов), то и порожденная ею группа тоже конечна (состоит из конечного числа мыслительных операций). Например, бесконечная группа «параллельных переносов» имеет в качестве порождающей подструктуры трехэлементное множество, состоящее из «тождественной операции», мысленного параллельного переноса на единичный вектор и вектор ему противоположный. Сама же порождающая подструктура имеет один порождающий элемент мысленный параллельный перенос на единичный вектор.

10 Две последние операции предлагалось осуществлять только десятиклассникам. Восьмиклассники с этими операциями еще не знакомы.

11 Более подробно разработанные нами общие принципы формирования ПМ описаны в работах [11] и [12].

12 Напомним, что каждой операцией отдельно испытуемый владеет.

13 Обратимость как показатель развития мышления выделялась многими психологами: З.И. Калмыковой, В.А. Крутецким, Н.А. Менчинской, Ж. Пиаже и др.

14 Психологический анализ взаимодействия этих двух видов структур в ПМ является довольно сложным и требует отдельного обсуждения, что не входит в круг проблем настоящей статьи.

15 Имеется в виду обратное преобразование в группе, порожденной поворотом на 7°, т.е. {7°, 14°, 21°, ..., 2506°, 2513°, 2520°}.

16 Это подтверждается и тем бесспорным фактом, что человек вместо поворота на 380° или 1100° практически осуществляет поворот на 20°.

17 Действительно, геометрические преобразования параллельный перенос, поворот, гомотетия и т. д., гомоморфными образами которых являются операции ПМ, служат предметом специального изучения в новых учебниках по геометрии для школы [1], [16], пединститутов и университетов [2], [17].