64

 

ФОРМИРОВАНИЕ У ШКОЛЬНИКОВ МЫСЛИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

 

Е. Б. ШИЯНОВА

 

В системе усвоения математики как учебного предмета преобразование алгебраических выражений занимает важное место, поскольку является тем универсальным аппаратом, без овладения которым невозможно решение математических задач. Однако, несмотря на постоянное совершенствование системы обучения алгебре в средней школе (программ, учебников, методов преподавания), у учащихся сохраняются многие трудности при усвоении данного предмета.

Психологический анализ причин трудностей показал недостаточное развитие у школьников обобщающей функции мышления. В целях повышения эффективности обучения предлагались различные пути. Так, ряд авторов рекомендовали варьировать существенные и несущественные признаки, использовать взаимно-обратные действия, сходные понятия. Эти пути реализовывали схему эмпирического обобщения. В качестве более продуктивного пути усвоения знаний была выдвинута концепция теоретического обобщения [1], согласно которой учащиеся при решении задач ставились в специальные учебные ситуации, раскрывающие им общий способ решения, применимый ко всем конкретным задачам данного класса. Плодотворность такого пути обучения математике была теоретически обоснована и экспериментально проверена в исследованиях Л.М. Фридмана,

 

65

 

Г.Г. Микулиной, С.Ф. Горбова, Ф.Г. Боданского. В них показан общий путь построения учебной деятельности, организуемой одинаково для всех учащихся.

Надо отметить, что в ходе овладения учебным содержанием в любых условиях обучения учащиеся испытывают трудности, зависящие от уже сложившегося у них учебного (личного) опыта работы с материалом, подлежащим усвоению. Понять природу ошибок и трудностей, возникающих при усвоении алгебры, вскрыть их причины, источники возникновения, наметить пути их устранения возможно только на основе исследования индивидуальных особенностей умственной деятельности учащихся, наиболее ярко выступающих в процессе выполнения алгебраических преобразований.

Преобразование мы рассматриваем как процесс видоизменения алгебраического выражения, реализуемый через систему мыслительных операций, адекватных основным алгебраическим преобразованиям. Мыслительная операция понимается как «звено мыслительного процесса, определяемое правилом или формулой» [2; 49]. Система мыслительных операций не является произвольной; она детерминирована материалом, его логикой постольку, поскольку задана система правил алгебраического преобразования. Однако механизм реализации мыслительных операций, т.е. механизм применения правил, которыми эти операции определяются, сложен и неоднозначен. Отношения между жестко заданным алгоритмом, правилом, формулой и действиями ребенка в соответствии с ними по существу не изо-, а гомоморфны: действуя согласно правилу, применяя его в различных условиях, ребенок всегда привносит в эти действия что-то свое: свою логику, опыт, отношение.

Проведенный нами анализ программ, учебников, методических и дидактических пособий по алгебре для VI—VIII классов показал, что в настоящих условиях школьного обучения в полной мере не реализуются возможности развития мышления учащихся, заложенные в самой алгебре как науке. Содержание, структура курса, порядок изложения тем, подбор заданий и упражнений направлены главным образом на овладение некоторой совокупностью знаний, умений и навыков, позволяющих выполнить задания на то или иное частное правило. Задача формирования теоретического подхода к преобразованию алгебраического материала, рациональных способов его осуществления, основанных на выделении и усвоении ключевых понятий, наиболее общих принципов изучаемого предмета, применимых для решения задач широкого класса, полноценно не решается, а порой и вовсе не ставится.

Как показывает проведенный нами констатирующий эксперимент, учащиеся VI—VIII классов, успешно осуществляя преобразования внутри узкого, ограниченного круга алгебраических заданий, не могут выйти за его пределы, что свидетельствует о низком уровне обобщения.

Целью настоящей работы было создание таких условий обучения алгебре, при которых у школьников формировалась бы система обобщенных мыслительных операций, с помощью которых можно свободно осуществлять преобразования любых алгебраических выражений. Это определило задачи нашего исследования: разработать экспериментальную программу, содержащую теоретические знания об общих принципах алгебраического преобразования, его структуре и специальную систему дидактических заданий, определяющую организацию деятельности учащихся по преобразованию алгебраического материала; выделить показатели, позволяющие фиксировать изменения в структуре умственной деятельности учащихся, возникающие под влиянием экспериментального обучения.

При разработке экспериментальной программы обучения школьников алгебраическим преобразованиям мы исходили из того, что программа должна знакомить учащихся с наиболее общими, универсальными теоретическими принципами алгебраических преобразований; включать специальную систему дидактических заданий, обеспечивающих их усвоение, а также систему контрольных

 

66

 

заданий и вопросов, направленных на проверку не только эффективности усвоения материала, но и сдвигов в умственном развитии учащихся (обобщенность мышления, осознанность достижения результата).

Ранее нами были выделены исходные, основные компоненты, составляющие структуру алгебраических преобразований, а именно: 1) алгебраические операции с элементами множества алгебраических выражений; 2) математические отношения между элементами этого множества; 3) связи между операциями и 4) свойства операций и отношений. Эти четыре компонента, представляющие собой общие принципы преобразования алгебраических выражений, определили структуру построенной нами теоретической модели умственной деятельности, обеспечивающей преобразование алгебраических выражений [3].

В соответствии с выделенными компонентами разработанная нами экспериментальная программа в своей теоретической части предусматривала изучение четырех тем: алгебраические операции и математические отношения на множестве алгебраических выражений; связи между алгебраическими операциями; свойства алгебраических операций; свойства математических отношений.

Не останавливаясь подробно на содержании каждой темы, охарактеризуем более детально вторую часть программы — систему дидактических заданий на преобразование алгебраического материала в соответствии с общетеоретическими принципами, составляющими основное содержание указанных тем.

Система заданий была направлена на такую организацию деятельности учащихся по овладению алгебраическими преобразованиями, при которой в процессе усвоения материала у школьников формировалось бы мышление с заранее заданными качествами: мышление высокой обобщенности и гибкости. Она включала наборы заданий на преобразование алгебраических выражений, подобранные так, что принцип решения всех заданий данного набора был одинаков, форма же входящих в них выражений изменялась от задания к заданию. Каждый набор включал задания, содержащие алгебраические выражения в трех формах: числовой, чисто буквенной и смешанной, причем внутри каждой формы сложность выражений возрастала от задания к заданию1. Такое построение наглядно показывало общность теоретических принципов. Выполняя задания в системе, учащиеся на собственном опыте убеждались в универсальности основных законов алгебры, в их применимости к максимально широкому кругу любых алгебраических выражений.

Чтобы помочь детям отвлечься от конкретных особенностей выражений (их формы, количества входящих в них элементов, характера связей между ними) и ориентироваться лишь на существенные признаки преобразования, все основные формулы, выражающие общие принципы алгебраических преобразований, давались в особой форме записи. Например, переместительное свойство сложения предлагалось в виде следующей обобщенной схемы-формулы:. При работе с разнообразным алгебраическим материалом дети могли вписывать в пустые фигурки схем-формул различные выражения (числовые, буквенные, смешанные выражения, одночлены, многочлены, дробно-рациональные выражения) или накладывать схему-формулу на конкретный материал, структурируя алгебраические выражения в соответствии с ее структурой.

 

МЕТОДИКА

 

Апробация экспериментальной программы осуществлялась в условиях группового обучения. Перед нами стояла задача: выяснить, смогут ли ученики VI класса, впервые приступающие к изучению систематического курса алгебры,

 

67

 

овладеть нашей программой, если да, то приведет ли ее усвоение к определенным сдвигам в их умственном развитии, и как будет протекать сам процесс овладения экспериментальной программой у различных учащихся.

Отметим, что, хотя созданная нами программа дает возможность проследить возрастные различия учащихся, так как охватывает три года обучения (VI—VIII классы), мы не ставили перед собой такую задачу. Наше внимание было сосредоточено на исследовании индивидуальных различий учащихся в усвоении материала. Соответственно, мы ограничились работой с детьми одного возраста.

Испытуемыми были ученики VI класса московской школы. В экспериментальную группу входили 16 человек различной успеваемости. Всего было проведено 12 занятий во внеурочное время по 60 минут каждое. В течение первых 10—15 мин учащимся сообщались теоретические сведения по соответствующей теме, остальное время отводилось на выполнение экспериментальных заданий. Дети работали самостоятельно под наблюдением экспериментатора. Возникавшие у них по ходу решения трудности, вопросы, ошибки тщательно фиксировались. В случае необходимости учащимся оказывалась помощь. В конце каждого занятия подводились итоги, предлагались контрольные вопросы. Домашних заданий не задавалось.

Для выявления сдвигов в умственном развитии учащихся мы выбрали два показателя: обобщенность и гибкость мыслительных операций. Обобщенность предполагает понимание учеником общности правил, которые в них реализуются, возможности применения этих правил к преобразованию различных алгебраических выражений; гибкость — умение рассматривать алгебраическое выражение (или его элементы) с разных точек зрения, в различных качествах и отношениях.

Помимо сдвигов в умственном развитии, нам важно было установить, произошли ли какие-либо изменения в мотивационно-потребностной сфере учащихся, выражающиеся в повышении интереса к предмету, в росте самостоятельности, в возникновении потребности самоконтроля, т. е. дало ли экспериментальное обучение некоторый «формальный» эффект, по терминологии Л.С. Выготского.

С этой целью мы провели контрольный эксперимент и анкетирование. В контрольном эксперименте, состоявшем из четырех серий, сопоставлялись данные, полученные на материале двух групп учащихся: экспериментальной и контрольной, а также данные, полученные для учащихся экспериментальной группы до и после обучения. В I серии проверялись гибкость мыслительных операций и их обобщенность по критерию переноса основных принципов преобразования на знакомые алгебраические выражения более сложного вида; во II серии — возможности переноса на незнакомые алгебраические выражения, в III серии — перенос теоретических принципов алгебры на неалгебраический материал. (Имеется в виду применение алгебраического аппарата при решении задач геометрии и физики. За символами этих дисциплин стоят некоторые реалии — величина угла, скорость, время, т. е. вещественность в них полностью не снимается. За алгебраическими символами нет такого рода конкретики, средствами алгебры формируется универсальный математический аппарат, и в этом ее специфика).

Предлагая учащимся геометрические и. физические задачи, мы наблюдали, смогут ли дети отвлечься от вещественности геометрии и физики, применить в этих, существенно иных условиях общий алгебраический метод. Подчеркнем, что для выполнения контрольных заданий всех трех серий учащимся не нужно было делать сложных вычислений, громоздких выкладок, обладать знаниями и умениями, выходящими за рамки школьной программы VI класса.

IV серия контрольного эксперимента была направлена на проверку устойчивости полученных результатов и проводилась через полгода после экспериментального обучения.

 

68

 

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

 

Результативность выполнения заданий всех серий контрольного эксперимента у учащихся экспериментальной группы была выше, чем у учащихся контрольной группы, у которых сохранились те же трудности, которые испытывали ученики экспериментальной группы до обучения. Испытуемые, прошедшие обучение по нашей программе, успешнее и легче осуществляли перенос теоретических знаний, применяя их как к незнакомому алгебраическому материалу, так и к материалу неалгебраического характера (число учащихся, справившихся с заданиями II и III серий, в экспериментальной группе более чем вдвое превышало число таких учащихся в контрольной группе). Ученики экспериментальной группы проявляли большую самостоятельность, критичность в оценке своей работы, сами стремились проконтролировать и обосновать свои действия, причем характер их обоснований был качественно иным, чем у детей контрольной группы.

Полученный эффект оказался устойчивым, о чем свидетельствовали результаты IV серии контрольного эксперимента. Так, различия в результативности выполнения заданий между учащимися экспериментальной и контрольной групп, хотя и несколько сгладились, все же остались достаточно большими: учащиеся экспериментальной группы выполнили в среднем 90 % заданий IV серии (ранее, т.е. в I серии,— 95%), а учащиеся контрольной группы — 50% (ранее — 44%).

Обучение по экспериментальной программе привело не только к положительным сдвигам в умственном развитии детей (росту обобщенности, гибкости их мышления), но и к повышению интереса к предмету, осознанию универсальности законов алгебраических преобразований. Это нашло свое отражение в данных анкетирования. Приведем в качестве примеров некоторые высказывания учащихся: «Я поняла, что простейшие примеры, которые так легко решать, тоже имеют свою систему решения, и научилась находить эту систему в более сложных»; «Можно сказать, что я за короткий срок прошел почти весь курс алгебры VII класса»; «Трудные на первый взгляд примеры можно было решить очень просто, становилось интересно»; «Стал больше понимать математику и немного любить»; «Когда так занимаешься, все становится другим, появляется интерес».

Вместе с тем в процессе экспериментального обучения обнаружились стойкие индивидуальные различия учащихся. При работе по преобразованию алгебраического материала это выражалось в устойчивых предпочтениях детьми разных по форме и сложности алгебраических выражений. Одни учащиеся легче и охотнее работали с числовыми выражениями любой степени сложности, другие — с несложными выражениями любой формы, третьи одинаково хорошо справлялись с любым материалом, вне зависимости от его формы и сложности. Неодинакова была степень легкости, быстроты перехода от заданий в одной форме к заданиям в другой форме, а также от задания к заданию внутри каждой отдельной формы. Разным было количество необходимых упражнений, характер и мера помощи.

Отметим, что индивидуальные различия при работе с разным по форме и по сложности алгебраическим материалом устойчиво проявлялись на протяжении всего экспериментального обучения, при усвоении всех тем программы, при выполнении заданий разных наборов.

Как показывают наши данные, эти различия обусловлены, во-первых, разным механизмом (технологией) осуществления одного и того же алгебраического преобразования, т. е. разными системами мыслительных операций, через которые оно реализуется, а во-вторых, различным качеством одних и тех же мыслительных операций, использованных в преобразовании.

Чтобы показать более ясно разницу в технологии преобразования, приводящего к одному и тому же результату, приведем конкретный пример. Выполняя задание представить в виде произведения выражение 5а+8а — 10а, все учащиеся дают один и тот же верный ответ — 3а. Однако получают они

 

69

 

его по-разному. Одни складывают коэффициенты и приписывают к сумме общую буквенную часть, т. е. действуют по правилу сложения именованных чисел. Другие преобразуют данное выражение по правилу приведения подобных слагаемых, имеющему частное значение и применимому к узкому кругу задач. Третьи достигают того же результата, применяя к данному конкретному случаю общий принцип, справедливый для всего множества алгебраических выражений,— распределительное свойство умножения.

Говоря о разном качестве мыслительных операций, мы имеем в виду различную степень их обобщенности и гибкости, т. е. а) понимание ребенком применимости (общности) используемого правила для более или менее широкого круга алгебраических выражений и б) умение «приспособить» более или менее широкий круг алгебраических выражений для преобразования согласно этому правилу.

Таким образом, предложенные нами структурирование материала и организация деятельности учащихся по его усвоению, воплощенные в экспериментальной программе, позволяют формировать мышление школьников с заранее заданными качествами.

Экспериментальное обучение показало, что учащиеся VI класса вполне овладевают разработанной нами программой за достаточно короткий срок (12 занятий). Эта программа может быть использована учителем на уроках в процессе изучения школьного курса алгебры, и при правильной организации ее применение не требует дополнительного (внеучебного) времени.

Реализация программы на разных учащихся позволила выявить устойчивые индивидуальные различия, проявляющиеся при работе с разным по форме и сложности алгебраическим материалом: Исследование показало, что одни и те же, с математической точки зрения, преобразования, приводящие к одинаковым результатам, обеспечиваются разными психологическими механизмами их реализации. Более детальное изучение этих механизмов составляет ближайшую перспективу нашей работы.

 

1. Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении. М., 1972.

2. Рубинштейн С. Л. О мышлении и путях его исследования. М., 1958.

3. Шиянова Е. Б. Психологический анализ операций преобразования на материале школьной алгебры // Нов. исслед. в психол. № 2. 1984. С. 45—48.

 

Поступила в редакцию 25.V 1985 г.