47

 

УСВОЕНИЕ НАЧАЛЬНЫХ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ

ПРИ РАЗНЫХ ВИДАХ МАТЕРИАЛИЗАЦИИ

ОБЪЕКТОВ И ОРУДИЙ ДЕЙСТВИЯ

 

Н. Г. САЛМИНА, Л. С. КОЛМОГОРОВА

Факультет психологии МГУ

 

Настоящая работа имеет целью изложить результаты исследования усвоения начальных математических понятий в условиях обучения, основанного на теории поэтапного формирования умственных действий. Основным условием успешного усвоения этих действий с точки зрения названной теории считается наличие их полной ориентировочной основы (Одп), полнота системы ориентиров (П. Я. Гальперин, 1974). Существенное значение при этом имеет материализация по возможности всех компонентов схемы Одп (Н. Ф. Талызина, 1960), вид их материализации (Н. Ф. Талызина, Н. Н. Николаева, 1961). Эти последние данные были получены в опытах по изучению усвоения геометрических понятий и сравнении модельной, чертежной и предметной материализации признаков этих понятий. Различную успешность формирования авторы связывают с особенностями использования вещественной модели, допускающей ручное действие, что делает усвоение эффективным, в то время как чертеж позволяет организовать лишь перцептивное действие, что оказалось менее продуктивным. Однако в действительности материализация исполнения во всех группах испытуемых в названной работе не была достигнута [4; 64], и мы думаем, что характер действия в этом исследовании оказался более существенным фактором, чем особенности материализации, а так как он был неодинаков, то результаты опытов по группам оказались несопоставимы.

В нашей работе организация исполнения была унифицирована. Разные виды материализации были использованы при одинаковом по содержанию исполнении. Задачей работы было выяснить, как влияет вид материализации отдельных компонентов схемы Одп (в условиях III типа ориентировки) на усвоение детьми понятия системы счисления.

Мы предположили, что в условиях полной схемы разная материализация ее отдельных компонентов различным образом влияет на фактическую ориентировку в задании, а тем самым и на процесс усвоения понятий и на его результаты. Требовалось: 1), выяснить, каким образом разные виды материализации объекта действия влияют на уяснение фактической ориентировки учащихся в задании; 2) проверить значимость материализации объекта действия, орудия и фиксации результата для процесса усвоения понятия системы счисления; 3) проследить, как влияет вид материализации отдельных компонентов схемы Одп на качества формируемых действий.

 

48

 

МЕТОДИКА

 

Для решения поставленных задач была построена экспериментальная программа по формированию понятия системы счисления в I классе. Этот материал был выбран потому, что он давал возможность использовать разные виды материализации (вещественный, графический и знаковый).

Исследование состояло из четырех частей.

1)   В констатирующем эксперименте выяснялся исходный уровень знаний. Материалом служили тесты Пиаже на сохранение количества (так как они позволяли оценить умение детей количественно сравнивать отдельные величины) и решение примеров в пределах школьной программы. Результаты по тестам показали наличие феноменов Пиаже в 50% предложенных задач. Большинство испытуемых затруднялось в выделении сравниваемого параметра, судило о количественных отношениях на основе перцептивных данных. При решении примеров испытуемые допускали ошибки, свидетельствующие о недостаточном усвоении принципов разрядности, позиционности.

2)   Предварительное обучение имело целью довести учащихся до необходимого исходного уровня формирования понятия числа как отношения величины к единице измерения. Занятия проводились по методике, разработанной под руководством П. Я. Гальперина. Различия в материализации на этом этапе эксперимента не вводились. После усвоения основных понятий этого раздела велось обучение по основной части программы опытов.

3)  Основной эксперимент проводился по III типу ориентировки. Экспериментатор выделял полную схему Оод в обобщенном виде, на основе которой учащиеся самостоятельно выводили ориентиры для конкретной системы счисления (двоичной, троичной и т. д.), затем выполняли задания по получению числа в определенной системе счисления и по решению примеров на сложение и вычитание. Все учащиеся получали учебные карты (УК), в которых фиксировалось основное содержание понятия системы счисления (алфавит, разряд, позиция) и алгоритм действия по получению числа и решению примеров. Так как первоклассники читают еще медленно, параллельно с текстом вводились условные обозначения содержания понятия и алгоритма действий. При одинаковом по содержанию действии в разных группах использовались разные виды объектов действия: вещественные, графические, знаковые.

Вещественными объектами служили специальные кубики, в которых был представлен состав единиц каждого разряда через единицы предыдущих разрядов. Например, при выполнении задания в троичной системе счисления перед учеником выкладывалось 8 кубиков (считая в десятичной системе счисления) единичного достоинства и требовалось их пересчитать, используя имеющиеся в алфавите цифры: 0, 1, 2. Как известно, в троичной системе счисления при переходе из одного разряда в другой всегда из трех получается одна единица. Ребёнок отсчитывал 3 единицы первого разряда, переносил их во второй разряд и заменял на 1 единицу второго разряда; затем брал еще 3 единицы первого разряда, переносил их во второй разряд и заменял на 1 единицу новой меры. Кубики, которые были заменены единицами следующего разряда, откладывались на листе бумаги над первым разрядом. В первом разряде оставалось 2 единицы, которые нельзя переносить во второй. Ученик записывал их количество цифрой 2. Затем он переходил ко второму разряду: в нем оказывались две единицы (два раза 3 единицы первого разряда переводились во второй). Их количество записывалось цифрой 2. Общий ответ записывался числом 22.

Действия были организованы так, что в результате преобразований фиксировался не только конечный итог — полученное число, но и промежуточные

 

49

 

моменты преобразований. Ниже показано, как фиксировался процесс и результат преобразований с вещественными объектами при получении числа 22:

 

 

При графическом объекте действия единицы каждого разряда имели двои графические обозначения. Единица первого ряда обозначалась ×, второго — □, третьего — О, четвертого — Δ.

Счет объектов — крестиков — проводился точно так же, как и счет вещественных объектов, только все операции прорисовывались: вместо «берем» — обводим, вместо «переносим» — рисуем стрелку с направлением, куда переносим. В изображении показывался состав единиц каждого разряда через единицы предыдущего. Ответ записывался цифрами алфавита. Фиксация преобразований, осуществляемых учеником в результате, выглядела следующим образом:

 

 

Знаковыми объектами действия служили фишки с цифрами алфавита. Набор таких фишек лежал перед учеником. Количество объектов, которые требовалось пересчитать, было представлено соответствующим количеством фишек (в нашем случае 8) с цифрой «1». Начиная счет, ученик брал из совокупности фишек — единиц первого разряда — 3 фишки с цифрой «1», переносил их во второй разряд и заменял одной фишкой с цифрой «1», т. е. одной единицей второго разряда. Это же проделывалось еще раз. Теперь в первом разряде осталось 2 фишки с. цифрой «1». Их переносить нельзя. Затем ученик переходил ко второму разряду: получилось 2 фишки с цифрой «1». Переносить их в третий разряд нельзя. На этом процесс преобразований заканчивался. Все фишки, которые были заменены на единицы следующего разряда, выкладывались над разрядами. Это позволяло зафиксировать наряду с результатом промежуточные ступени преобразований. Окончательный ответ фиксировался в фишках с цифрами алфавита. Ниже представлен процесс и результат преобразований со знаковыми объектами (см. таблицу на стр. 50).

Итак, по содержанию действие во всех трех группах было одинаковым, но форма его материализации была различна.

Соответственно ей все учащиеся были разделены на три группы: вещественную, графическую, знаковую. Все испытуемые каждой группы делились на 2 подгруппы. Одна из них (Б) по мере образования новых разрядов строила разрядную сетку. Выше приведены примеры с использованием разрядной сетки. Единицы первого разряда всегда находились

 

50

 

 

на правой стороне листа. Единицы второго и последующих разрядов отделялись друг от друга вертикальной чертой. В итоге действия получалась обобщенная графическая модель расположения разрядов — разрядная сетка. В ней каждый разряд занимал строго определенное место:

 

 

В дальнейшем все задания выполнялись при помощи этой сетки, игравшей роль орудия действия (наряду с УК). Учащиеся другой подгруппы (А) не создавали такой сетки и не пользовались ей. Единицы каждого разряда отделялись ими произвольно и располагались без строго определенного порядка.

4. Контрольный эксперимент проводился после этапа материализованного действия. Каждому ученику было предъявлено по 4 задания. Они включали как аналогичные тем, на которых велась отработка, так и новые (перевод числа из одной системы счисления в другую).

Исследование проводилось в первых классах школ № 14, 37, 44, 862 Москвы (1978—1979 гг.). В нем участвовало 30 испытуемых. Среди них было 10 хорошо успевающих, 16 среднеуспевающих, 4 слабоуспевающих. В каждой группе было по 10 учащихся разной успеваемости. С каждым испытуемым индивидуально было проведено по 19—-20 занятий. На каждом занятии отрабатывалось по 4 задания. Фиксировалось время обучения, количество и характер ошибок, высказывания испытуемых, качественные показатели действия (обобщенность, разумность, сознательность, критичность, мера овладения — по критериям, разработанным П. Я. Гальпериным).

 

РЕЗУЛЬТАТЫ

 

Использование различных видов материализации объекта действия при обеспечении каждый раз полной материализации существенно повлияло на ход и результаты формирования понятия системы счисления. В таблице представлено количество ошибок, которое учащиеся допустили в процессе усвоения начальных математических

 

 

51

 

понятий на этапе материализованного действия (в среднем на одного человека) по группам.

Из таблицы видно, что лучшие результаты были получены в группе 1Б (с использованием вещественных объектов и разрядной сетки в качестве орудия действия) и 2Б (с использованием графического объекта действия и разрядной сетки). Минимальная эффективность обнаружена при работе со знаковыми объектами, особенно если она не заканчивалась построением модели числа в разрядной сетке (группа ЗА).

Рассмотрим более подробно количественные данные по группам.

Влияние вида материализации объекта действия на эффективность обучения проследим, сравнивая все подгруппы А между собой и подгруппы Б также между собой, потому что они отличались только видом материализации объекта действия.

Для обеих подгрупп характерно, что использование, вещественного и графического объектов действия дает практически одинаковый эффект. Результаты этих подгрупп существенно превосходят результаты работы со знаковыми объектами2.

Основными ошибками по знаковой группе были такие, которые связаны с недостаточным пониманием принципа разрядности. Например, при переходе из одного разряда в другой из N единиц получалось вновь N, а не одна единица. Непонимание принципа разрядности в этой группе вызвало существенные дефекты в формируемых действиях и привело также к ошибкам на другой понятийный признак — алфавит.

В вещественной и графической группах незначительное количество разного рода ошибок было связано главным образом с невнимательностью, поспешностью. Они находились, исправлялись и объяснялись самими учащимися. Таким образом, характер действия при сопоставлении вещественной и графической материализации не был значимым условием формирования. Результаты в этих группах оказались одинаково успешными и при материальном преобразовании, и при графическом. При работе же со знаковыми объектами, несмотря; на то что состав и характер действия был таким же, как в других группах, имели место существенные недостатки в формируемых действиях.

Наши опыты позволили определить зависимость в формировании понятий не только от материализации объектов действия, но и материализации его орудия. Именно для этого и были использованы модели системы разрядов. Они служили орудием преобразований объекта действия. Опыты обнаружили, что подгруппа Б показала в целом более высокие результаты, чем подгруппа А, где это орудие не было использовано. В подгруппах, работавших без обобщенной модели, приходится по 6,3 ошибки, в подгруппе, работавшей с этой моделью, в среднем лишь по 2,9 ошибки на человека.

Основное различие между подгруппами А и Б проявлялось в усвоении принципа позиционности. Учащиеся подгрупп А различали единицы каждого разряда, но их соотношению, правильности записи не придавали значения. При решении примеров они не записывали разряды строго один под другим, что приводило к ошибкам. Такие ошибки не были характерны для подгрупп Б. Таким образом, использование обобщенной графической модели системы разрядов оказало положительное влияние на эффективность формирования.

В эксперименте также выяснилось, что вещественная и графическая материализация объекта действия более значима, чем графическая материализация орудия (разрядная сетка). Разница в среднем количестве ошибок менаду вещественными и графическими объектами действия, с одной стороны, и знаковыми, с другой, составляет 5,9 ошибок в среднем

 

52

 

на человека. А разница между подгруппами, пользовавшимися обобщенной моделью (разрядной сеткой) и не пользовавшимися, — всего лишь 2,8 ошибок на человека.

Основные результаты, представленные в таблице, подтверждаются графиком, отражающим динамику усвоения понятия системы счисления на этапе материализованного действия, в котором представлено количество ошибок на каждом занятии в среднем на человека по каждой группе3.

 

 

График показывает, что в знаковой группе от первых занятий к последним улучшения практически не было. В подгруппе А количество ошибок не только не уменьшается, но даже возрастает, в подгруппе Б количество ошибок незначительно уменьшается, но не исчезает совсем. Снижение количества ошибок до нуля имело место в обеих вещественных подгруппах (А и Б). То же самое было и в графической группе, причем в подгруппах Б в обоих случаях результаты были лучше, чем в. подгруппах А.

Результаты контрольного эксперимента представлены в таблице количеством нерешенных заданий (в %) по подгруппам.

Из таблицы видно, что понятие системы счисления на этапе материализованного действия было усвоено в вещественной и графической группах со средним числомw ошибок около одной на, группу, причем это; были в основном ошибки на неразличение знака действия, несущественные для формируемого понятия. В знаковой же группе процент нерешенных заданий на порядок выше, что свидетельствует о недостаточном усвоении содержания понятия. В этой группе решены неверно все задания, кроме части заданий на алфавит. Ошибки были такие же, как и до формирования, (в десятичной системе счисления). При решении примеров в различных системах счисления срабатывал стереотип

 

 

 

53

 

десятичной, особенно в примерах типа 14 + 3=17 (в задании с пятиричной системой счисления).

Самые высокие результаты дала вещественная Б группа; не намного отстает от нее графическая. В целом в подгруппах Б результаты оказались выше (22,9% ошибок), чем в подгруппах А (34 %).

 

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

 

Влияние вида материализации компонентов схемы Одп на характер ориентировки в задании. Анализ ошибок показывает, что на фактическую ориентировку учащихся влияет не только заданная схема Одп, но и вид используемой материализации.

Роль видов материализации объектов действия в становлении фактической ориентировки в задании может быть прослежена при сравнении трех выделенных групп.

Учащиеся, оперирующие знаковыми объектами, как показал эксперимент, не усвоили основного содержания понятия. У них наблюдалось расхождение между фактической и заданной ориентировкой: отсутствовала ориентировка на существенный признак (разрядность). Работа с вещественными и графическими объектами не создавала эти дефекты в ориентировке.

Низкую эффективность знаковой материализации объекта действия мы объясняем тем, что в знаке информация, подлежащая усвоению, была скрыта. Основная понятийная характеристика — разрядность — оставалась для учащихся невыявленной. Понятие разрядности как существенного компонента понятия системы счисления было представлено в УК. Но это оказалось недостаточно для правильного осуществления действий. В отличие от этого вещественный и графический виды материализации позволили представить все связи и переходы по соотношению разрядов в объекте действия и поэтому не привели к ошибкам, характерным для знаковой группы.

Таким образом, несмотря на то что все учащиеся действовали при опоре на ориентиры, представленные в УК, фактическая ориентировка оказалась разной в зависимости от вида материализации объекта действия. Те отношения, которые были вскрыты в собственном действии учеников, но не зафиксированы материально, в фактическую ориентировку, как правило, не включались.

Одним из условий совпадения фактической ориентировки с заданной выступила фиксация не только конечного результата действия, но и результатов промежуточных преобразований. Фиксация этих последних давала возможность сохранить для учащихся весь выполнявшийся ими процесс и закрепляла отношения, необходимые для ориентировки в задании, а это способствовало запоминанию ориентиров, раскрытых в действии. Чтобы существенные отношения, подлежащие усвоению, включились в фактическую ориентировку учащихся, нужно было, чтобы эта ориентировка прошла через их собственные действия.

Особенности материализации орудий также показали разные возможности в уяснении ориентировки. Анализ ошибок в подгруппах А (без разрядной сетки) свидетельствует о том, что усвоение ориентиров, организующих действия учащихся, представляет сложность в тех случаях, когда нет дополнительной к УК пространственно-графической организации орудия действия. Разрядная сетка позволила упорядочить действие и устранила ошибки на позиционность, характерные для подгруппы А. С одной стороны, структурирование соотношения разрядов (позиционность) и, с другой стороны, организация действия по построению обобщенной модели системы разрядов привели к тому, что позиционность была включена с самого начала в фактическую ориентировку. Вместе с тем выяснилось, что использование только такого орудия, как УК, не обеспечивает

 

54

 

полную фактическую ориентировку учащихся в задании и недостаточно для обучения.

Влияние вида материализации компонентов схемы Одп на процесс формирования понятия системы счисления. Поскольку вид материализации объекта действий и орудий влиял на фактическую ориентировку учащихся, по-разному складывалась отработка действия (на этапе материализованного действия) в разных группах: от практически безошибочного (1,0 ошибок в среднем на человека за 4—5 занятий в графической Б группе) до такого, где было большое количество существенных ошибок (10,0 ошибок в среднем на человека в знаковой А группе). На знаковых объектах не удалось достичь безошибочного выполнения действия, поэтому в целях корректировки после контрольного эксперимента было организовано «доведение» усвоения до заданных показателей, что было возможно лишь путем использования вещественного и графического объектов.

К концу этапа материализованного действия наступило его сокращение — сначала в графической группе, затем, в вещественной. Оно проявлялось в «идеальном» выполнении некоторых промежуточных операций (например, образование совокупности N единиц для перехода в высший разряд). Сокращения операций практически не было в знаковой группе. Развернутое действие по переходу из разряда в разряд с вещественными и графическими объектами после усвоения его принципа было заменено действием со знаковыми объектами. В графической группе переход к знакам произошел на одно-два занятия раньше, чем в вещественной.

Прослеживая особенности использования разных видов материализации, удалось выявить, что в начале усвоения действия основная роль отводится его объекту, так как это позволяет раскрыть принцип построения разрядов. В дальнейшем же испытуемые, отходя от вещественных объектов (кубиков), переходят к более сокращенным — знаковым. Интересно, что на первых занятиях они выражали желание работать с кубиками, а в дальнейшем охладевали к такой форме работы и также единодушно хотели только рисовать.

Иначе обстояло дело с орудием действия. Разрядная сетка как орудие преобразования объекта действия сохранялась до конца этапа материализованного действия, большинство испытуемых не решались отбросить ее вплоть до речевого этапа (13 человек из 17).

Таким образом, постепенное снятие материализации выступило как одна из характеристик процесса усвоения понятия. На начальных ступенях этапа материализованного действия материализация объекта действия наиболее значима. Затем выполнение Действия и, главное, фиксация процесса максимально сокращаются, а графическое орудие действия остается до перехода к речевому этапу.

Скорость усвоения действия в зависимости от видов материализации, не была одинаковой. Быстрее всего действие было отработано в графи: ческой группе, также довольно быстро — в вещественной, наиболее медленно — в знаковой. Для учащихся знаковой группы характерно большое количество пауз. Время выполнения заданий в вещественной и графической группах сократилось в два-три раза, в знаковой практически не было сокращения времени.

Таким образом, разная материализация компонентов схемы Одп по-разному обеспечивает отработку действия по параметрам развернутости (сокращенности), временным и силовым показателям.

Влияние вида материализации на качества действий учащихся. На обобщенность действия, согласно теории поэтапного формирования, помимо схемы Одп влияют такие факторы, как использование моделей и варьирование типа материала (П. Я. Гальперин).

Чтобы проследить условия формирования обобщенности действий при использовании вещественной и: графической материализации объектов

 

55

 

действия, у части испытуемых (8 человек) в процессе обучения была организована отработка действий только на материале троичной системы счисления. Задания, связанные с другими системами счисления, учащиеся получали лишь в контрольном эксперименте.

Выяснилось, что для обобщения действия не обязательно варьирование предметных типов материала, если материализация обеспечивает организацию действия с выявлением существенных отношений. При обобщенной схеме Одп отработка действия только на одном типе материала (с вещественными или с графическими объектами) уже привела к обобщенному знанию. В контрольных заданиях, включающих решение примеров в двоичной, пятиричной, десятичной системах счисления, учащиеся этих групп показали умение обобщать: правильно составили схему Одп для каждого конкретного случая, решали примеры. Существенной разницы между результатами в случае отработки действия только на троичной системе (3,1% ошибок) и на нескольких (4,7% ошибок) не было. ---Лишь большинством испытуемых троичная система счисления воспринималась как самая легкая.

Мера критичности определялась путем проверки умения находить свои и чужие ошибки. Как оказалось, в целом учащиеся вещественной и графической групп находили и исправляли ошибки. В знаковой группе были большие трудности в нахождении и исправлении ошибок, на учащихся влияли провоцирующие суждения экспериментатора.

Сознательность выявлялась путем анализа речевого сопровождения действий. В группах организация проговаривания проходила с разной степенью успешности, В вещественной и графической группах в целом проговаривание не вызывало трудностей. Сложнее обстояло дело в знаковой группе. Речевое сопровождение действий носило фрагментарный характер, зачастую было формальным. Правильное проговаривание действий было значительно затруднено в тех случаях, когда существенные отношения не выявлялись в собственном действии.

Разумность не была обеспечена лишь в знаковой группе. Об этом свидетельствуют ошибки, а также обоснование правильности записи, например: «105 не может быть в пятиричной системе, потому что 1+0+5=6». В задании на придумывание чисел в различных системах счисления можно было встретить такие рассуждения: «Из алфавита 0 и 1 нельзя записать 101, потому что там две цифры, а здесь (в числе) три» и т. д.

Доведение действий счета и решения примеров в вещественной и графической группах до сокращенной материализованной формы, быстрое и правильное выполнение заданий свидетельствовало об овладении ими. Раньше других овладели действием в материализованной форме учащиеся графической группы (за четыре занятия), тогда как в знаковой группе шесть занятий не привели к усвоению действия.

 

ВЫВОДЫ

 

На основании изложенного можно сделать вывод о том, что особенности материализации объектов действия оказывают существенное влияние на становление ориентировки в задании, процесс формирования и результат усвоения детьми понятия системы счисления. Полнота схемы Одп еще не означает, что усвоение будет протекать успешно, оно зависит от используемой материализации.

Выяснилось, что не имеет значения, вещественные или графические объекты используются для материализации действия. Главное условие успеха усвоения — чтобы объект действия позволил раскрыть и зафиксировать процесс преобразования, ведущий к результату. При знаковой форме объекта остается скрытой сущность преобразований, и поэтому знак не дает высокой эффективности усвоения.

Влияние материализации на ориентировку проявляется в том, что постепенный процесс подтягивания фактической ориентировки до заданной

 

56

 

осуществляется неодинаково и связан с характером материализации. Усваиваются не все ориентиры, которые даются в УК, а только те, которые выявлены и фиксируются в собственном действии ребенка, а это определяется характером используемой материализации.

Отработка действия по параметрам должна начинаться с вещественных или графических объектов. Затем действие сокращается, объект меняет форму. Переход к знаку обеспечивает постепенный, плавный переход к речевому этапу. Начинать отработку со знаковых объектов неэффективно, так как они не обеспечивают отработку действия по параметрам.

Качества действий учащихся находятся в прямой зависимости от вида материализации. Как оказалось, для обобщения знаний необязательно варьирование предметных типов материала, если отработка велась с вещественными или графическими средствами, раскрывающими сущность преобразования, ведущих к усвоению принципа. Осознанность, разумность, критичность, мера овладения действием зависели от включения ориентировочных признаков в реальное действие, сопровождающееся фиксацией промежуточных моментов и заканчивающееся построением обобщенной модели (вещественной или графической), которое, в свою очередь, определялось видом материализации.

 

1.       Гальперин П. Я. Организация умственной деятельности и эффективность учения.— В кн.: Возрастная и педагогическая психология. — Пермь, 1974, с. 90—103.

2.       Талызина Н. Ф., Николаева Н. Н. Зависимость формирования геометрических понятий от исходной формы действия. — Доклады АПН РСФСР, 1961, № 6.

3.       Талызина Н. Ф. К проблеме формирования умственных действий. — Вопросы психологии, № 4, 1960, с. 133—140.

4.       Талызина Н. Ф. Управление процессом усвоения знаний. — М., 1975.— 300 с.